北京 八年級 上冊 親愛的同學，祝賀你走進八年級！ 七年級的數學學習使我們經歷了許許多多 : 體驗了“數的擴張”過程從正數到有理數，學會了使用字 母來表示任何數，能夠應用一元一次方程的模型解決許多現實的 問題， 探究過許多變量之間的關系， 嘗試預測一些變量的變化趨勢； 認識了許多新的圖形，掌握了三角形全等的意義，了解了對稱 的基本性質，并且能夠運用這些知識解決問題、設計精美的圖案 ； 能與身邊的數據“對話”從數據中獲得信息，用數據表達 信息 ； 能從數學的角度看待不確定事件 ； 在這本書里，我們將學習更多的數學 ： 再經歷一次“數的擴張”從有理數到實數，掌握一次函數 的基本性質，認識二元一次方程組的模型，并應用它們解決許多 現實和有趣的問題 ； 學習勾股定理，掌握確定位置的基本方法，并應用它們設計美 麗的圖案，解決現實的問題 ； 學會用不同的“數”來刻畫一組數據的“平均水平”和“波動 水平” ； 數學有意思嗎？你愿意學好數學嗎？如果你對數學感興趣，不 妨去看看書中的“讀一讀”吧 . 事實上，對數學了解得越多，就越 能體會到她的意義與趣味 . 走進數學新天地 學數學不能只是模仿與記憶，也不能只是動手做一做，與別人議一議，它 更需要思考與表達、猜測與推理、交流與反思 . 思考和交流是有效地學習數學的好方法 . 歡迎你經常與我們交流你的學習 心得和智慧 . 我們的聯系方式 ： 北京師范大學出版社基礎教育分社（100875） ， (010)58802832,58802795. 愿數學伴著你成長！ 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 . 2 2 能得到直角三角形嗎 . 9 3 螞蟻怎樣走最近 . 13 回顧與思考 . 15 復習題 . 15 第二章 實數 1 數不夠用了 . 20 2 平方根 . 25 3 立方根 . 29 4 公園有多寬 . 32 5 用計算器開方 . 35 6 實數 . 37 7 二次根式 . 41 回顧與思考 . 47 復習題 . 47 目 錄 MULU 第 一 章 勾股定理 勾股定理歷史悠久 古巴比倫、古代中國 、古希臘等文明古國 都很早發現 了這一定理，很多具有古老文化的民族都會說：我們首先認識的數學定理是勾 股定理 正 因 為 勾 股 定 理 歷 史 悠 久 ， 反 映 勾 股 定 理 內 容 的 圖 形 形 象 直 觀 （ 如 圖 ） ， 數學家曾建議用這個圖作為與“外星人”聯系的信號 讓我們一起探究這一古老定理吧！ 學 習 目 標 感受到勾股定理的悠久歷史和證法的多樣性 體會到探究勾股定理的困難和探究成功的喜悅 會用勾股定理或逆定理解決簡單的問題 第 二 章 實數 古 希 臘 的 畢 達 哥 拉 斯 學 派 認 為 世 間 萬 物 都 可 以 用 整 數 或 整 數 之 比 來 表 示 你認為這個斷言正確嗎？ 你 能 求 出 面 積 為 2 的 正 方 形 的 邊 長 嗎 ？ 你 知 道 圓 周 率 的 精 確 值 嗎 ？ 它們能用整數或分數（即有理數）來表示嗎？ 隨著人類對數的認識 的不斷加深和發展， 人們發現，現實世界 中確實存在 不 同 于 有 理 數 的 數 本 章 我 們 將 學 習 無 理 數 、 實 數 、 平 方 根 、 立 方 根 等 概 念 ， 學 習 利 用 估 算 或 借 助 計 算 器 求 出 一 個 無 理 數 的 近 似 值 ， 并 解 決 有 關 實 際 問 題 學 習 目 標 認識到引入新的數的必要性 在學習實數的有關概念和運算法則時，感受類比的思想 能進行實數運算和簡單的根式化簡，解決簡單的問題 根據實際要求選擇恰當的方法，估計實數的大小 1 第三章 位置與坐標 1 確定位置 . 52 2 平面直角坐標系 . 56 3 坐標與軸對稱 . 67 回顧與思考 . 70 復習題 . 70 第四章 一次函數 1 函數 . 74 2 一次函數 . 78 3 一次函數的圖象 . 82 4 確定一次函數表達式 . 88 5 一次函數的應用 . 90 回顧與思考 . 97 復習題 . 97 第 三 章 位置與坐標 生活中我們常常需要 確定物體的位置如 ，確定學校、家庭的 位置，確定 地圖上城市的位置，在棋盤上確定棋子的位置，在海戰中確定艦艇的位置 確定位置有很多種方 式，本章我們將了解 確定位置的一些基本 方法，認識 平 面 直 角 坐 標 系 ， 感 受 成 軸 對 稱 的 兩 個 圖 形 坐 標 之 間 的 關 系. 學 習 目 標 感 受 到 豐 富 多 彩 的 確 定 位 置 的 方 法 ， 形 成 一 定 的 空 間想象能力 認 識 平 面 直 角 坐 標 系 ， 并 借 助 平 面 直 角 坐 標 系 來 確 定物體的位置，形成數形結合的意識 體會圖形坐標的變化與軸對稱圖形變化之間的關系 第 四 章 一次函數 生 活 中 充 滿 著 許 許 多 多 變 化 的 量 ， 你 了 解 這 些 變 量 之 間 的 關 系 嗎 ？ 如 彈 簧 的 長 度 與 所 掛 物 體 的 質 量 ， 步 行 時 所 走 的 路 程 與 所 用 的 時 間 了 解 這 些 關 系 ， 可 以 幫 助 我 們 更 好 地 認 識 世 界 函數是刻畫變量之間 關系的常用模型，其 中最為簡單的是一次 函數什么 是一次函數？它對應的圖象有什么特征？用一次函數可以解決現實生活中的哪 些問題？你想了解這些嗎？一起來看一看！ 學 習 目 標 “發現”一些生活中的函數 從 “ 數 ” “ 形 ” 兩 個 角 度 認 識 一 次 函 數 ， 并 形 成 一定的數形結合的意識 會用一次函數解決一些簡單的實際問題 2 第五章 二元一次方程組 1 誰的包裹多 . 103 2 解二元一次方程組 . 108 3 雞兔同籠 . 115 4 增收節支 . 117 5 里程碑上的數 . 120 6 二元一次方程與一次函數 . 123 7 三元一次方程組 . 128 回顧與思考 . 131 復習題 . 131 第六章 數據的分析 1 平均數 . 135 2 中位數與眾數 . 141 3 從統計圖估計數據的代表 . 144 4 數據的波動 . 147 回顧與思考 . 155 復習題 . 155 第 五 章 二元一次方程組 今 有 雞 兔 同 籠 上 有 三 十 五 頭 下 有 九 十 四 足 問 雞 兔 各 幾 何 你 能 解 決 上 面 的 “ 雞 兔 同 籠 ” 問 題 嗎 ？ 事實上，利用方程（ 組）可以很簡單地解 決這一問題方程（ 組）是刻畫 現 實 世 界 中 的 等 量 關 系 的 有 效 模 型 ， 許 多 現 實 問 題 都 可 歸 結 為 方 程 問 題 本章將學習二元一次 方程組及其解法，并 利用二元一次方程組 解決一些有 趣 的 現 實 問 題 學 習 目 標 感受二元一次方程組是刻畫現實生活中的有效模型 會解二元一次方程組，體會“消元”思想 能應用二元一次方程組解決現實生活中的實際問題 感覺二元一次方程組和一次函數的關系 第六章 數據的分析 生 活 中 ， 人 們 離 不 開 數 據 ， 我 們 不 僅 要 收 集 、 整 理 和 表 示 數 據 ， 還 需 要 對 數 據 進 行 分 析 ， 進 而 幫 助 我 們 更 好 地 作 出判斷. 甲 、 乙 、 丙 三 人 的 射 擊 成 績 如 圖 所 示 ， 誰 的 成 績 更 好 ， 誰 更 穩 定 ？ 你 是 怎 么 判 斷 的 ？ 除 了 直 觀 感 覺 外 ， 我 們 如 何 用 量 化 的 數 據 來 刻 畫 “ 更 好 ” “ 更 穩 定 ” 呢 ？ 類 似 地 ， 在 生 活 中 我 們 還 常 聽 到 “ 小 亮 的 身 高 在 班 上 是 中 等 偏 上 的 ” “A 籃 球 隊 隊 員 比 B 隊 更 年 輕 ” 你 思 考過這些話的含義嗎？你知道人們是如何作出這一判斷的嗎？ 數學上，我 們常借助平 均數、中位 數、眾數、 方差等來對 數據進行分 析和 刻畫. 環數 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 次數 甲 乙 丙 學 習 目 標 經歷數據收集、整理、分析等活動過程，形成用數據說話的習慣 能根據實際需要，選擇恰當的方法分析數據、解決問題 會 計 算 一 組 數 據 的 平 均 數 、 中 位 數 、 眾 數 、 方 差 等 ， 在 實 際 背 景 中體會它們的含義 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 經理 副經理 職員A 職員B 職員C 職員D 職員E 職員F 雜工G 3 第七章 證明（一） 1 你能肯定嗎 . 160 2 定義與命題 . 163 3 直線平行的判定 . 170 4 平行線的性質 . 173 5 三角形內角和定理 . 176 回顧與思考 . 182 復習題 . 182 綜合與實踐 計算器運用與功能探索 . 186 綜合與實踐 哪一款“套餐”更合適？ . 187 綜合與實踐 哪個城市是真正的“火爐”? . 189 總復習 . 191 第七章 證明（一） 通 過 觀 察 、 度 量 、 猜 測 得 到 的 結 論 都 是 正 確 的 嗎 ？ 如 果 不 是 ， 那 么 用 什 么 方 法 才 能 說 明 它 的 正 確 性 呢 ？ 根 據 “ 同 位 角 相 等 ， 兩 直 線 平 行 ” “ 過 直 線 外 一 點 有 且 只 有 一 條 直 線 與 這 條 直 線 平 行 ” 你 還 能 得 到 哪 些 熟 悉 的 結 論 ？ 你 能 肯 定 它 們 都 是 正 確 的 嗎 ？ 本 章 我 們 將 一 起 學 習 如 何 根 據 一 些 基 本 事 實 推 出 其 他 結 論 的 過 程 ， 并 將 對 三 角 形 的 內 角 和 進 行 研 究 ， 同 時 ， 我 們 還 將 探 討 三 角 形 的 內 角 與 外 角 的 關 系 學 習 目 標 知道通過探索得到的結論不一定正確 知道證明要有出發點，要步步有據 會證明平行線和三角形的有關結論 4 第 一 章 勾股定理 勾股定理歷史悠 久古巴比倫、古 代中國、古希臘 等文明古國都很早 發現 了這一定理，很多具有古老文化的民族都會說：我們首先認識的數學定理是勾 股定理 正 因 為 勾 股 定 理 歷 史 悠 久 ， 反 映 勾 股 定 理 內 容 的 圖 形 形 象 直 觀 （ 如 圖 ） ， 數學家曾建議用這個圖作為與“外星人”聯系的信號 讓我們一起探究這一古老定理吧！ 學 習 目 標 感受到勾股定理的悠久歷史和證法的多樣性 體會到探究勾股定理的困難和探究成功的喜悅 會用勾股定理或逆定理解決簡單的問題 2 1 探索勾股定理 如 圖 1-1 ， 從 電 線 桿 離 地 面 8 m 處 向 地 面 拉 一 條 鋼 索 ， 若 這 條 鋼 索 在 地 面 的 固 定 點 距 離 電 線 桿 底 部 6 m，那么需要多長的鋼索？ 在 直 角 三 角 形 中 ， 任 意 兩 條 邊 確 定 了 ， 另 外 一 條 邊 也 就 隨 之 確 定 ， 三 邊 之 間 存 在 著 一 個 特 定 的 數 量 關 系. 事 實 上 ， 古 人 發 現 ， 直 角 三 角 形 的 三 條 邊 長 度 的 平 方 存 在 一 個 特 殊 的 關 系. 讓 我 們 一 起 去 探 索吧! 做一做 （1）在紙上作出若干個直角三角形，分別測量它們的三條邊，看看三邊長 的平方之間有怎樣的關系？與同伴交流. （2 ） 如 圖 1-2 ， 直 角 三 角 形 三 邊 的 平 方 分 別 是 多 少 ， 它 們 滿 足 上 面 所 猜 想 的 數 量 關 系 嗎 ？ 你 是 如 何 計 算 的 ？ 與 同 伴 交 流. 對 于 圖 1-3 中 的 直 角 三 角 形 ， 是 否 還 滿 足 這 樣 的 關 系 ？ 你 又 是 如 何 計 算 的 呢 ？ （3） 如果直角三角形的兩直角邊分別為 1.6 個單位長度和 2.4 個單位長度， 上面所猜想的數量關系還成立嗎？說明你的理由 圖 1-1 圖 1-2 A C B A C B 圖 1-3 A C B A C B 3 第一章 勾股定理 通過上面的活動 ，同學們一定已經 發現：直角三角 形兩直角邊的平方 和等 于斜邊的平方我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊 稱為股，斜邊稱為弦因此，我國稱上面的結論為勾股定理 勾股定理 1 （gou-gu theorem） 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如果用 a ，b 和 c 分 別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么 a 2 + b 2 = c 2 想一想 在圖 1-1 的問題中，需要多長的鋼索？ 隨堂練習 1 求下圖中字母所代表的正方形的面積 2 小 明 媽 媽 買 了 一 部 29 in 2 （74 cm ） 的 電 視 機 小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只 有 58 cm 長 和 46 cm 寬 ， 他 覺 得 一 定 是 售 貨員搞錯了 你同意他的想法嗎？你能解釋 這是為什么嗎？ 1 勾 股 定 理 在 西 方 文 獻 中 又 稱 為 畢 達 哥 拉 斯 定 理 （Pythagoras theorem ） 2 in 表 示 英 寸 ， 1 in = 25.4 mm （ 準 確 值 ） . （第 1 題） 225 400 A 81 225 B 4 數學 八年級 上冊 習題 1.1 知識技能 1 求出下列直角三角形中未知邊的長度 2 求斜邊長 17 cm、一條直角邊長 15 cm 的直角三角形的面積. 數學理解 3 如 圖 ， 所 有 的 四 邊 形 都 是 正 方 形 ， 所 有 的 三 角 形 都 是 直 角 三 角 形 ， 請 在 圖 中 找 出 若 干 個 圖 形 ， 使 得 它 們 的 面 積 之 和 恰 好 等 于 最 大 的 正 方 形 面 積 ， 嘗 試 給 出 兩 種 以 上 的 方 案. 問題解決 4 如圖，求等腰三角形 ABC 的面積. 上 一 節 課 ， 我 們 通 過 測 量 和 數 格 子 的 方 法 發 現 了勾股定理. 對圖 1-4 中的直角三角形，你能驗證 勾股定理嗎？你是如何做的？與同伴交流. （第 1 題） 5 y 13 8 6 x （第 3 題） （第 4 題） 6 cm 5 cm 5 cm C A B a b c 圖 1-4 5 第一章 勾股定理 做一做 為 了 計 算 圖 1-4 中 大 正 方 形 的 面 積 ， 小 明 對 這 個 大 正 方 形 適 當 割 補 后 ， 得到圖 1-5，圖 1-6. （1）將所有三角形和正方形的面積用 a ，b ，c 的關系式表示出來； （2 ） 圖 1-5 ， 圖1-6 中 正 方 形 ABCD 的 面 積 是 多 少 ？ 你 們 有 哪 些 表 示 方 式，與同伴交流. （3）你能利用圖 1-5，圖1-6 驗證勾股定理嗎？ 用 圖 1-6 驗 證 勾 股 定 理 的 方 法 ， 據 載 最 早 是 由 三 國 時 期 數 學 家 趙 爽 在 為 周 髀 算 經 作 注 時 給 出 的. 我 國 歷 史 上 將 圖 1-6 中 弦 上 的 正 方 形 稱 為 弦 圖 （圖 1-7）. 圖 1-7 圖 1-8 2002 年 世 界 數 學 家 大 會 （ICM-2002 ） 在 北 京 召 開 ， 這 屆 大 會 會 標 （ 圖 1-8 ） 的 中 央 圖 案 正 是 經 過 藝 術 處 理 的 “ 弦 圖 ” ， 它 既 標 志 著 中 國 古 代 的 數 學成就，又像一只轉動的風車，歡迎來自世界各地的數學家們！ 我方偵察員小王在距離東西向公路 400 m 處偵察，發現一輛敵方汽車 在 公 路 上 疾 駛 他 趕 緊 拿 出 紅 外 測 距 儀 ， 測 得 汽 車 與 他 相 距 400 m ，10 s 后 ， 汽車與他相距 500 m,你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎？ 例 a b c 圖 1-5 圖 1-6 b a c A A B C D D B C 6 數學 八年級 上冊 分析：根 據 題 意 ， 可 以 畫 出 圖 1-9 ， 其 中 點 A 表 示 小 王 所 在 位 置 ， 點 C ， 點 B 表 示 兩 個 時 刻 敵 方 汽 車 的 位 置. 由 于 小 王 距 離 公 路 400 m, 因 此 C 是 直 角 ， 那 么 就 可以由勾股定理來解決這個問題了 解： 由 勾 股 定 理 ， 可 以 得 到 AB 2 = BC 2 + AC 2 ， 也 就是 500 2 = BC 2 + 400 2 ，所以 BC = 300. 敵方汽車 10 s 行駛了 300 m ，那么它 1 h 行駛的距離 為 300 6 60 = 108 000 （m ） ， 即 它 行 駛 的 速 度 為108 km / h. 議一議 觀察圖 1-10，判斷圖中三角形的三邊長是否滿足 a 2 + b 2 = c 2 隨堂練習 如 圖 是 某 沿 江 地 區 交 通 平 面 圖 ， 為 了 加 快 經 濟 發 展 ， 該 地 區 擬 修 建一條連接 M ，O ，Q 三城市的沿 江 高 速 ， 已 知 沿 江 高 速 的 建 設 成 本 是 5 000 萬 元/km ， 該 沿 江 高 速 的造價預計是多少？ 30 km M O P Q N 40 km 50 km 120 km 圖 1-9 A C B 公路 400 m 500 m b a c b a c 圖 1-10 7 第一章 勾股定理 習題 1.2 知識技能 1 如圖，強大的臺風使得一根旗桿在離地面 3 m 處折斷倒下，旗 桿頂部落在離旗桿底部 4 m 處旗桿折斷之前有多高？ 數學理解 2 1876 年 ， 美 國 總 統 Garfield 利 用 右 圖 驗 證 了 勾 股 定 理 你 能 利 用 它 驗 證 勾 股 定 理 嗎 ？ 說 一 說 這 個 方 法 和 本 節 的 探 索 方 法 的 聯 系. 問題解決 3 如 圖 ， 某 隧 道 的 截 面 是 一 個 半 徑 為 3.6 m 的 半 圓 形 ， 一 輛 高 2.4 m 、 寬 3 m 的 卡 車 能 通 過 該 隧 道 嗎 ？ 聯系拓廣 4 在 一 張 紙 上 復 制 四 個 全 等 的 直 角 三 角 形 ， 通 過 拼 圖 的 方 法 驗 證 勾 股 定 理. 你 有 哪 些 方 法 ？ 并 說 說 你 的 方 法 與 課 堂 上 的 方 法 之 間 有 什 么 聯 系 與 差 別. 5 從 網 上 收 集 有 關 勾 股 定 理 的 資 料 ， 撰 寫 小 論 文 ， 與 同 學 交 流 （第題） a a b b c c 3.6 m （第 3 題） （第 1 題） 3 m 4 m 讀一讀 勾股世界 我 國 是 最 早 了 解 勾 股 定 理 的 國 家 之 一 早 在 三 千 多 年 前 ， 周 朝 數 學 家 商 高 就 提 出 ， 將 一 根 直 尺 折 成 一 個 直 角 ， 如 果 勾 等 于 三 、 股 等 于 四 ， 那 么 弦 就 等 于 五 ， 即 “ 勾 三 、 股 四 、 弦 五 ” 它 被 記 載 于 我 國 古 代 著 名 的 數 學 著作周髀算經 中.在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式. 1945 年 ， 人 們 在 研 究 古 巴 比 倫 人 遺 留 下 的 一 塊 數 學 泥 板 時 ， 驚 訝 地 發 現 上 面 竟 然 刻 有 15 組 能 構 成 直 角 三 角 形 三 邊 的 數 ， 其 年 代 遠 在 商 高 之 前 8 數學 八年級 上冊 相 傳 兩 千 多 年 前 ， 希 臘 的 畢 達 哥 拉 斯 學 派 首 先 證 明 了 勾 股 定 理 ， 因 此 在 國 外 人 們 通 常 稱 勾 股 定 理 為 畢 達哥 拉斯 定理 為 了紀 念畢 達哥 拉斯 學派 ，1955 年希 臘曾經發行了一枚紀念郵票，如右圖所示 事 實 上 ， 勾 股 定 理 的 證 明 方 法 十 分 豐 富 ， 達 數 百 種 之 多 其 中 ， 一 種 方 法 尤 為 獨 特 ， 單 靠 移 動 幾 塊 圖 形 就 直 觀 地 證 出 了 勾 股 定 理 ， 被 譽 為 “ 無 字 的 證 明 ” ， 我們欣賞幾個！ 意大利著名畫家達 芬奇的方法 A B C D E F O a b A B C D E F 剪 開 右邊部分 上下翻轉 a b 青方 朱入 青入 朱方 朱出 青出 青出 青入 c 中國的“青朱出入圖” 古印度的“無字證明” 9 2 能得到直角三角形嗎 圖 1-12 C 13 D B 3 5 4 A 12 圖 1-11 D A B C 如 果 三 角 形 的 三 邊 長 a ，b ， c 滿 足 a 2 + b 2 = c 2 ， 那 么 這 個 三 角形是直角三角形. 可 以 取 幾 個 滿 足 條 件 的 數試試！ 滿 足 a 2 + b 2 = c 2 的 三 個 正 整 數 ， 稱 為 勾股數 在 一 個 直 角 三 角 形 中 ， 兩 直 角 邊 的 平 方 和 等 于 斜 邊 的 平 方 反 過 來 ， 如 果 一 個 三 角 形 中 有 兩 邊 的 平 方 和 等 于 第 三 邊 的 平 方 ， 那 么 這 個 三 角 形 是直角三角形嗎？ 做一做 下 面 的 每 組 數 分 別 是 一 個 三 角 形 的 三 邊 長 a ， b ， c, 而 且 都 滿 足 a 2 + b 2 = c 2 ： 3，4，5；5，12，13；8，15，17； 7，24，25 分別以每組數為三 邊長作出三角形 ，它們都是直角 三角形嗎？你是怎 么想 的，與同伴交流 一 個 零 件 的 形 狀 如 圖 1-11 所 示 ， 按 規 定 這 個 零 件 中 A 和 DBC 都 應 為 直 角 工 人 師 傅 量 得 這 個 零 件 各 邊 尺 寸 如 圖 1-12 所 示 ， 這 個 零 件 符 合 要 求嗎？ 例 10 數學 八年級 上冊 解：在 ABD 中 ，AB 2 + AD 2 = 9 + 16 = 25 = BD 2 ， 所 以 ABD 是 直 角 三角形， A 是直角. 在 BCD 中 ，BD 2 + BC 2 = 25 + 144 = 169 = CD 2 ， 所 以 BCD 是 直 角 三角形， DBC 是直角. 因此這個零件符合要求. 讀一讀 勾股數與費馬大定理 滿 足 a 2 + b 2 = c 2 的 三 個 正 整 數 ， 稱 為 勾 股 數 那 么 勾 股 數 到 底 有 多 少 組 呢 ？ 它 們 有 一 定 的 規 律 嗎 ？ 相 信 通 過 探 索 ， 你 一 定 能 發 現 其 中 的 某 些 規律 事 實 上 ，17 世 紀 的 法 國 數 學 家 費 馬 （Pierre de Fermat ，1601-1665 ） 也 研 究 了 勾 股 數 的 問 題 ， 并 思 考 更 一 般 的 問 題 ： 滿 足 x n + y n = z n 的 正 整 數 的 特 征 1637 年 ， 他 提 出 了 數 學 史 上 的 著 名 猜 想 ： 當 n 2 時 ， 找 不 到 任 何 正 整 數 組 ， 使 等 式 x n + y n = z n 成 立 費 馬 猜 想 公 布 以 后 ， 引 起 了 各 國 優 秀 數 學 家 的 關 注 ， 他 們 圍 繞 著 這 個 猜 想 頑 強 地 探 索 著 ， 試 圖 證 明 它 1995 年 ， 英 籍 數 學 家 懷 爾 斯 （Andrew Wiles ，1953- ） 終 于 證 明 了 這 一 猜 想 ， 解 開 了 這 個 困 惑 世 間 無 數 智 者 300 多 年 的 謎 這 樣 ， 它 已 不 再 是 猜 想了，是名副其實的費馬大定理. 隨堂練習 1 下列幾組數能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由 （1） 9, 12, 15; （2） 12, 18, 22; （3） 12, 35, 36; （4） 15, 36, 39. 2 如 圖 ， 在 正 方 形 ABCD 中 ，AB = 4 ，AE = 2 ，DF = 1 ， 圖 中有幾個直角三角形，你是如何判斷的？與同伴交流. A B E D C F （第 2 題） 11 第一章 勾股定理 習題 1.3 知識技能 1 如 果 三 條 線 段 a ，b ，c 滿 足 a 2 = c 2 - b 2 ， 這 三 條 線 段 組 成 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形 嗎 ？ 為什么？ 數學理解 2 （1） 如 果 將 直 角 三 角 形 的 三 條 邊 長 同 時 擴 大 一 個 相 同 的 倍 數 ， 得 到 的 三 角 形 還 是 直 角 三角形嗎？ （2） 下 表 中 第 一 列 每 組 數 都 是 勾 股 數 ， 補 全 下 表 ， 這 些 勾 股 數 的 2 倍 、3 倍 、4 倍 、 10 倍還是勾股數嗎？任意倍呢？說說你的理由. 2 倍 3 倍 4 倍 10 倍 3，4，5 6，8，10 ， ， ， 5，12，13 ， 15，36，39 ， ， 8，15，17 ， ， 32，60，68 ， 7，24，25 ， ， ， 70，240，250 3 如 圖 ， 哪 些 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ， 哪 些 不 是 ？ 說 說 你 的 理 由. 問題解決 4 給 你 一 根 長 繩 子 ， 沒 有 其 他 工 具 ， 你 能 方 便 地 得 到 一 個 直 角 嗎 ？ （第 3 題） 12 數學 八年級 上冊 a 120 3 456 4 800 13 500 72 360 2 700 960 600 6 480 60 2 400 240 2 700 90 b 119 3 367 4 601 12 709 65 319 2 291 799 481 4 961 45 1 679 161 1 771 56 c 169 4 825 6 649 18 541 97 481 3 541 1 249 769 8 161 75 2 929 289 3 229 106 普林頓 322 號（Plimpton 322） 聯系拓廣 5 美 國 哥 倫 比 亞 大 學 普 林 頓 收 藏 館 收 藏 了 一 塊 很 古 怪 的 泥 板 ， 這 塊 泥 板 是 在 巴 比 倫 挖 掘 出 來 的 ， 編 號 322 考 古 學 家 相 信 這 塊 泥 板 是 公 元 前 18 世 紀 的 成 品 泥 板 上 有 三 列 文 字 ， 沒 有 人 能 解 釋 直 至 1945 年 ，Neugebauer 和 Sachs 經 過 細 心 考 究 ， 發 現 泥 板 上 是 三 列 數 字 你 知 道 這 些 數 字 間 的 關 系 嗎 ？ 借 助 計 算 器 進 行 探 索. 13 3 螞蟻怎樣走最近 如 圖 1-13 所 示 ， 有 一 個 圓 柱 ， 它 的 高 等 于 12 cm ， 底 面 上 圓 的 周 長 等 于 18 cm 在 圓 柱 下 底 面 的 點 A 有 一 只 螞 蟻 ， 它 想 吃 到 上 底 面 上 與 點 A 相 對 的 點 B 處 的 食 物 ， 沿 圓 柱 側 面 爬行的最短路程是多少？ （1 ） 自 己 做 一 個 圓 柱 ， 嘗 試 從 點 A 到 點 B 沿 圓 柱 側 面 畫 出 幾 條 路 線 ，你覺得哪條路線最短呢？ （2 ） 如 圖 1-14 所 示 ， 將 圓 柱 側 面 剪 開 展 成 一 個 長 方 形 ， 從 點 A 到 點 B 的 最短路線是什么？你畫對了嗎？ （3 ） 螞 蟻 從 點 A 出 發 ， 想 吃 到 點 B 上 的 食 物 ， 它 沿 圓 柱 側 面 爬 行 的 最 短路程是多少？ 做一做 李 叔 叔 想 要 檢 測 雕 塑 底 座 正 面 的 邊 AD 和 邊 BC 是 否 分別垂直于底邊 AB ，但他隨身只帶了卷尺 （1）你能替他想辦法完成任務嗎？ （2 ） 李 叔 叔 量 得 邊 AD 長 是 30 cm ， 邊 AB 長 是 40 cm ， 邊 BD 長 是 50 cm 邊 AD 垂 直 于 邊 AB 嗎 ？ （3 ） 小 明 隨 身 只 有 一 個 長 度 為 20 cm 的 刻 度 尺 ， 他 能 有 辦 法 檢 驗 邊 AD 是 否 垂 直 于 邊 AB 嗎 ？ 邊 BC 與 邊 AB 呢 ？ A B C D 圖 1-14 A A B B 圖 1-13 A B 隨堂練習 甲 、 乙 兩 位 探 險 者 到 沙 漠 進 行 探 險 某 日 早 晨 8:00 甲 先 出 發 ， 他 以 6 km / h 的 速 度 向 正 東 行 走 1 h 后 乙 出 發 ， 他 以 5 km / h 的 速 度 向 正 北 行 走 上 午 10 : 00 ， 甲 、 乙 二人相距多遠？ 14 數學 八年級 上冊 習題 1.4 知識技能 1 如圖，帶陰影的矩形面積是多少？ 問題解決 2 如 圖 ， 一 座 城 墻 高 11.7 m ， 墻 外 有 一 個 寬 為 9 m 的 護 城 河 ， 那 么 一 個 長 為 15 m 的 云 梯能否到達墻的頂端？ 3 一 個 無 蓋 的 長 方 體 形 盒 子 的 長 、 寬 、 高 分 別 為 8 cm ，8 cm ，12 cm ， 一 只 螞 蟻 想 從 盒 底 的 點 A 爬 到 盒 頂 的 點 B ， 你 能 幫 螞 蟻 設 計 一 條 最 短 的 線 路 嗎 ？ 螞 蟻 要 爬 行 的 最 短 行 程 是 多 少 ？ 4 在 我 國 古 代 數 學 著 作 九 章 算 術 中 記 載 了 一 道 有 趣 的 問 題 ， 這 個 問 題 的 意 思 是 ： 有 一 個 水 池 ， 水 面 是 一 個 邊 長 為 10 尺 1 的 正 方 形 在 水 池 正 中 央 有 一 根 新 生 的 蘆 葦 ， 它 高 出 水 面 1 尺 如 果 把 這 根 蘆 葦 垂 直 拉 向 岸 邊 ， 它 的 頂 端 恰 好 到 達 岸 邊 的 水 面 請 問 這 個 水 池 的 深 度 和 這 根 蘆 葦 的 長 度 各 是 多 少 ？ 5 借 助 勾 股 定 理 ， 利 用 升 旗 的 繩 子 、 卷 尺 ， 請 你 設 計 一 個 方 案 ， 測 算 出 旗 桿 的 高 度. 1 1 尺 = 1 3 m = 0.33 3 m. （第 4 題） （第 1 題） 15 cm 8 cm 3 cm （第 3 題） 12 cm 8 cm 8 cm A B （第 2 題） 15 m 11.7 m 9 m 15 第一章 勾股定理 回顧與思考 1直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關系？ 2舉例說明，如何判斷一個三角形是否為直角三角形 3請你舉一個生活中的實例，并運用勾股定理解決它 4你了解勾股定理的歷史嗎？與同伴進行交流. 復習題 知識技能 1 螞 蟻 沿 圖 中 所 示 的 折 線 由 點 A 爬 到 了 點 D ， 螞 蟻 一 共 爬 行 了 多 少 厘 米 ？ （ 圖 中 小 方 格 的邊長代表 1 cm） 2 判斷下列幾組數能否作為直角三角形的三邊長 （1） 8，15，17； （2） 7，12，15； （3） 12，15，20； （4） 7，24，25. 3 一 艘 帆 船 由 于 風 向 的 原 因 先 向 正 東 方 向 航 行 了 1 6 0 km ， 然 后 向 正 北 方 向 航 行 了 120 km，這時它離出發點有多遠？ 0 5 10 5 15 15 10 20 A D B C （第 1 題） 16 數學 八年級 上冊 4 在 右 圖 中 ，BC 長 為 3 cm ，AB 長 為 4 cm ，AF 長 為 12 cm 求正方形 CDEF 的面積. 5 小 明 從 家 出 發 向 正 北 方 向 走 了 150 m ， 接 著 向 正 東 方 向 走 到 離家 250 m 遠的地方小明向正東方向走了多遠？ 數學理解 6 如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間有什么關系？ 7 據傳當年畢達哥拉斯借助上面的兩個圖驗證了勾股定理，你能說說其中的道理嗎？ 8 據 說 古 埃 及 人 曾 用 下 面 的 方 法 得 到 直 角 ： 如 圖 所 示 ， 他 們 用 13 個 等 距 的 結 把 一 根 繩 子 分 成 等 長 的 12 段 ， 一 個 工 匠 同 時 握 住 繩 子 的 第 1 個 結 和 第 13 個 結 ， 兩 個 助 手 分 別 握 住 第 4 個 結 和 第 8 個 結 ， 拉 緊 繩 子 ， 就 會 得 到 一 個 直 角 三 角 形 ， 其 直 角 在 第 4 個 結 處. 你能說說其中的道理嗎？ 9 如圖，方格紙上每個小正方形的面積為 1 個單位. （1） 在 方 格 紙 上 ， 以 線 段 AB 為 邊 畫 正 方 形 并 計 算 所