2019年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12個小題,每小題3分,滿分36分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1（3分）的絕對值是（）ABCD2（3分）如果分式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）Ax1Bx1C全體實數(shù)Dx13（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控制，進入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日L2點Halo使命軌道，成為世界首顆運行在地月L2點Halo軌道的衛(wèi)星，用科學記數(shù)法表示65000公里為（）公里A0.65105B65103C6.5104D6.51054（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）ABCD5（3分）下列各式中，計算正確的是（）A8a3b5abB（a2）3a5Ca8a4a2Da2aa36（3分）如圖，已知ABCD，AF交CD于點E，且BEAF，BED40，則A的度數(shù)是（）A40B50C80D907（3分）某校5名同學在“國學經(jīng)典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86，95，97，90，88，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A97B90C95D888（3分）下列命題是假命題的是（）An邊形（n3）的外角和是360B線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等C相等的角是對頂角D矩形的對角線互相平分且相等9（3分）不等式組的整數(shù)解是（）A0B1C2D110（3分）國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人設2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意列方程得（）A9（12x）1B9（1x）21C9（1+2x）1D9（1+x）2111（3分）如圖，一次函數(shù)y1kx+b（k0）的圖象與反比例函數(shù)y2（m為常數(shù)且m0）的圖象都經(jīng)過A（1，2），B（2，1），結(jié)合圖象，則不等式kx+b的解集是（）Ax1B1x0Cx1或0x2D1x0或x212（3分）如圖，在直角三角形ABC中，C90，ACBC，E是AB的中點，過點E作AC和BC的垂線，垂足分別為點D和點F，四邊形CDEF沿著CA方向勻速運動，點C與點A重合時停止運動，設運動時間為t，運動過程中四邊形CDEF與ABC的重疊部分面積為S則S關于t的函數(shù)圖象大致為（）ABCD二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.)13（3分）因式分解：2a28 14（3分）在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和a個黃球，這些球除顏色不同其它沒有任何區(qū)別若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為，則a等于 15（3分） 16（3分）計算：+ 17（3分）已知圓的半徑是6，則圓內(nèi)接正三角形的邊長是 18（3分）在平面直角坐標系中，拋物線yx2的圖象如圖所示已知A點坐標為（1，1），過點A作AA1x軸交拋物線于點A1，過點A1作A1A2OA交拋物線于點A2，過點A2作A2A3x軸交拋物線于點A3，過點A3作A3A4OA交拋物線于點A4，依次進行下去，則點A2019的坐標為 三、解答題（本大題共8個小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)19（6分）（）3+|2|+tan60（2019）020（6分）進行了統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題：（1）這次學校抽查的學生人數(shù)是 ；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）如果該校共有1000名學生，請你估計該校報D的學生約有多少人？21（8分）關于x的一元二次方程x23x+k0有實數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m1）x2+x+m30與方程x23x+k0有一個相同的根，求此時m的值22（8分）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為30，沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達E處，測得樓房頂部A的仰角為60已知坡面CD10米，山坡的坡度i1：（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房AB高度（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：1.73，1.41）23（8分）如圖，點A、B、C在半徑為8的O上，過點B作BDAC，交OA延長線于點D連接BC，且BCAOAC30（1）求證：BD是O的切線；（2）求圖中陰影部分的面積24（8分）某商店購進A、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等（1）求購買一個A商品和一個B商品各需要多少元；（2）商店準備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？25（10分）如圖，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接CP，過點P作CP的垂線與y軸交于點E（1）求該拋物線的函數(shù)關系表達式；（2）當點P在線段OB（點P不與O、B重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點M，連接MN、MB請問：MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由26（12分）如圖，在等邊ABC中，AB6cm，動點P從點A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速運動動點Q同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動設運動時間為以t（s）過點P作PEAC于E，連接PQ交AC邊于D以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE（1）當t為何值時，BPQ為直角三角形；（2）是否存在某一時刻t，使點F在ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；（3）求DE的長；（4）取線段BC的中點M，連接PM，將BPM沿直線PM翻折，得BPM，連接AB，當t為何值時，AB的值最小？并求出最小值2019年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12個小題,每小題3分,滿分36分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1（3分）的絕對值是（）ABCD【分析】根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即可解答【解答】解：|，故選：B【點評】本題考查了相反數(shù)，解決本題的關鍵是熟記負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)2（3分）如果分式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）Ax1Bx1C全體實數(shù)Dx1【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求出答案【解答】解：由題意可知：x+10，x1，故選：A【點評】本題考查分式的有意義的條件，解題的關鍵是熟練運用分式有意義的條件，本題屬于基礎題型3（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務“鵲橋”中繼星成功實施軌道捕獲控制，進入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日L2點Halo使命軌道，成為世界首顆運行在地月L2點Halo軌道的衛(wèi)星，用科學記數(shù)法表示65000公里為（）公里A0.65105B65103C6.5104D6.5105【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數(shù)確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同當原數(shù)絕對值1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值1時，n是負數(shù)【解答】解：科學記數(shù)法表示65000公里為6.5104公里故選：C【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值4（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）ABCD【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確故選：D【點評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180后與原圖重合5（3分）下列各式中，計算正確的是（）A8a3b5abB（a2）3a5Ca8a4a2Da2aa3【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則以及同底數(shù)冪除法法則解答即可【解答】解：A、8a與3b不是同類項，故不能合并，故選項A不合題意；B、（a2）3a6，故選項B不合題意；C、a8a4a4，故選項C不符合題意；D、a2aa3，故選項D符合題意故選：D【點評】本題主要考查了冪的運算性質(zhì)以及合并同類項的法則，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵6（3分）如圖，已知ABCD，AF交CD于點E，且BEAF，BED40，則A的度數(shù)是（）A40B50C80D90【分析】直接利用垂線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案【解答】解：BEAF，BED40，F(xiàn)ED50，ABCD，AFED50故選：B【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，正確得出FED的度數(shù)是解題關鍵7（3分）某校5名同學在“國學經(jīng)典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86，95，97，90，88，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A97B90C95D88【分析】先將題中的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，然后根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可【解答】解：將小明所在小組的5個同學的成績重新排列為：86、88、90、95、97，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90分，故選：B【點評】本題考查了中位數(shù)的概念：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)8（3分）下列命題是假命題的是（）An邊形（n3）的外角和是360B線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等C相等的角是對頂角D矩形的對角線互相平分且相等【分析】根據(jù)多邊形的外角和、線段垂直平分線的性質(zhì)、對頂角和矩形的性質(zhì)判斷即可【解答】解：A、n邊形（n3）的外角和是360，是真命題；B、線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，是真命題；C、相等的角不一定是對頂角，是假命題；D、矩形的對角線互相平分且相等，是真命題；故選：C【點評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理9（3分）不等式組的整數(shù)解是（）A0B1C2D1【分析】先求出不等式組的解集，再求出整數(shù)解，即可得出選項【解答】解：解不等式得：x0，解不等式得：x2，不等式組的解集為2x0，不等式組的整數(shù)解是1，故選：B【點評】本題考查了解一元一次不等式的應用，能靈活運用不等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關鍵10（3分）國家實施”精準扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人設2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意列方程得（）A9（12x）1B9（1x）21C9（1+2x）1D9（1+x）21【分析】等量關系為：2016年貧困人口（1下降率）22018年貧困人口，把相關數(shù)值代入計算即可【解答】解：設這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意得：9（1x）21，故選：B【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，得到2年內(nèi)變化情況的等量關系是解決本題的關鍵11（3分）如圖，一次函數(shù)y1kx+b（k0）的圖象與反比例函數(shù)y2（m為常數(shù)且m0）的圖象都經(jīng)過A（1，2），B（2，1），結(jié)合圖象，則不等式kx+b的解集是（）Ax1B1x0Cx1或0x2D1x0或x2【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x的取值范圍便是不等式kx+b的解集【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)y1kx+b（k0）的圖象在反比例函數(shù)y2（m為常數(shù)且m0）的圖象上方時，x的取值范圍是：x1或0x2，不等式kx+b的解集是x1或0x2故選：C【點評】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集利用數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵12（3分）如圖，在直角三角形ABC中，C90，ACBC，E是AB的中點，過點E作AC和BC的垂線，垂足分別為點D和點F，四邊形CDEF沿著CA方向勻速運動，點C與點A重合時停止運動，設運動時間為t，運動過程中四邊形CDEF與ABC的重疊部分面積為S則S關于t的函數(shù)圖象大致為（）ABCD【分析】根據(jù)已知條件得到ABC是等腰直角三角形，推出四邊形EFCD是正方形，設正方形的邊長為a，當移動的距離a時，如圖1S正方形的面積EEH的面積a2t2；當移動的距離a時，如圖2，SSACH（2at）2t22at+2a2，根據(jù)函數(shù)關系式即可得到結(jié)論；【解答】解：在直角三角形ABC中，C90，ACBC，ABC是等腰直角三角形，EFBC，EDAC，四邊形EFCD是矩形，E是AB的中點，EFAC，DEBC，EFED，四邊形EFCD是正方形，設正方形的邊長為a，如圖1當移動的距離a時，S正方形的面積EEH的面積a2t2；當移動的距離a時，如圖2，SSACH（2at）2t22at+2a2，S關于t的函數(shù)圖象大致為C選項，故選：C【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是讀懂題意，學會分類討論的思想，屬于中考常考題型二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.)13（3分）因式分解：2a282（a+2）（a2）【分析】首先提取公因式2，進而利用平方差公式分解因式即可【解答】解：2a282（a24）2（a+2）（a2）故答案為：2（a+2）（a2）【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用乘法公式是解題關鍵14（3分）在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和a個黃球，這些球除顏色不同其它沒有任何區(qū)別若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為，則a等于5【分析】根據(jù)概率公式列出關于a的方程，解之可得【解答】解：根據(jù)題意知，解得a5，經(jīng)檢驗：a5是原分式方程的解，a5，故答案為：5【點評】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比15（3分）【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案【解答】解：原式32故答案為：2【點評】此題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并，難度一般16（3分）計算：+1【分析】原式變形后，利用同分母分式的減法法則計算即可得到結(jié)果【解答】解：原式1故答案為：1【點評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵17（3分）已知圓的半徑是6，則圓內(nèi)接正三角形的邊長是6【分析】易得正三角形的中心角為120，那么中心角的一半為60，利用60的正弦值可得正三角形邊長的一半，乘以2即為正三角形的邊長【解答】解：如圖，圓半徑為6，求AB長AOB3603120連接OA，OB，作OCAB于點C，OAOB，AB2AC，AOC60，ACOAsin6063，AB2AC6，故答案為：6【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，先利用垂徑定理和相應的三角函數(shù)知識得到AC的值是解決本題的關鍵18（3分）在平面直角坐標系中，拋物線yx2的圖象如圖所示已知A點坐標為（1，1），過點A作AA1x軸交拋物線于點A1，過點A1作A1A2OA交拋物線于點A2，過點A2作A2A3x軸交拋物線于點A3，過點A3作A3A4OA交拋物線于點A4，依次進行下去，則點A2019的坐標為（1010，10102）【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點A1的坐標，求得直線A1A2為yx+2，聯(lián)立方程求得A2的坐標，即可求得A3的坐標，同理求得A4的坐標，即可求得A5的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律，即可找出點A2019的坐標【解答】解：A點坐標為（1，1），直線OA為yx，A1（1，1），A1A2OA，直線A1A2為yx+2，解得或，A2（2，4），A3（2，4），A3A4OA，直線A3A4為yx+6，解得或，A4（3，9），A5（3，9），A2019（1010，10102），故答案為（1010，10102）【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)的圖象以及交點的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律是解題的關鍵三、解答題（本大題共8個小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)19（6分）（）3+|2|+tan60（2019）0【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案【解答】解：原式8+2+19【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵20（6分）進行了統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題：（1）這次學校抽查的學生人數(shù)是40；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）如果該校共有1000名學生，請你估計該校報D的學生約有多少人？【分析】（1）利用A項目的頻數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；（2）計算出C項目的人數(shù)后補全條形統(tǒng)計圖即可；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中該校報D的學生數(shù)占被調(diào)查學生數(shù)的比例即可得【解答】解：（1）這次學校抽查的學生人數(shù)是1230%40（人），故答案為：40人；（2）C項目的人數(shù)為401214410（人）條形統(tǒng)計圖補充為：（3）估計全校報名軍事競技的學生有1000100（人）【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答21（8分）關于x的一元二次方程x23x+k0有實數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m1）x2+x+m30與方程x23x+k0有一個相同的根，求此時m的值【分析】（1）利用判別式的意義得到（3）24k0，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的結(jié)論得到k的最大整數(shù)為2，解方程x23x+20解得x11，x22，把x1和x2分別代入一元二次方程（m1）x2+x+m30求出對應的m，同時滿足m10【解答】解：（1）根據(jù)題意得（3）24k0，解得k；（2）k的最大整數(shù)為2，方程x23x+k0變形為x23x+20，解得x11，x22，一元二次方程（m1）x2+x+m30與方程x23x+k0有一個相同的根，當x1時，m1+1+m30，解得m；當x2時，4（m1）+2+m30，解得m1，而m10，m的值為【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根與b24ac有如下關系：當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0時，方程無實數(shù)根22（8分）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為30，沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達E處，測得樓房頂部A的仰角為60已知坡面CD10米，山坡的坡度i1：（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房AB高度（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：1.73，1.41）【分析】過D作DGBC于G，DHAB于H，交AE于F，作FPBC于P，則DGFPBH，DFGP，求出DCG30，得出FPDGCD5，CGDG5，求出DFGP+10，證出DAF30ADF，得出AFDF+10，得出FHAF+5，因此AHFH10+5，即可得出答案【解答】解：過D作DGBC于G，DHAB于H，交AE于F，作FPBC于P，如圖所示：則DGFPBH，DFGP，坡面CD10米，山坡的坡度i1：，DCG30，F(xiàn)PDGCD5，CGDG5，F(xiàn)EP60，F(xiàn)PEP5，EP，DFGP5+10+10，AEB60，EAB30，ADH30，DAH60，DAF30ADF，AFDF+10，F(xiàn)HAF+5，AHFH10+5，ABAH+BH10+5+515+515+51.7323.7（米），答：樓房AB高度約為23.7米【點評】此題是解直角三角形的應用仰角，俯角問題，主要考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵23（8分）如圖，點A、B、C在半徑為8的O上，過點B作BDAC，交OA延長線于點D連接BC，且BCAOAC30（1）求證：BD是O的切線；（2）求圖中陰影部分的面積【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出OCA，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到30，解直角三角形求出BD，分別求出BOD的面積和扇形AOB的面積，即可得出答案【解答】（1）證明：連接OB，交CA于E，C30，CBOA，BOA60，BCAOAC30，AEO90，即OBAC，BDAC，DBEAEO90，BD是O的切線；（2）解：ACBD，OCA90，DCAO30，OBD90，OB8，BDOB8，S陰影SBDOS扇形AOB8832【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點的綜合運用，題目比較好，難度適中24（8分）某商店購進A、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等（1）求購買一個A商品和一個B商品各需要多少元；（2）商店準備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？【分析】（1）設購買一個B商品需要x元，則購買一個A商品需要（x+10）元，根據(jù)數(shù)量總價單價結(jié)合花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等，即可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設購買B商品m個，則購買A商品（80m）個，根據(jù)A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為整數(shù)即可找出各購買方案【解答】解：（1）設購買一個B商品需要x元，則購買一個A商品需要（x+10）元，依題意，得：，解得：x5，經(jīng)檢驗，x5是原方程的解，且符合題意，x+1015答：購買一個A商品需要15元，購買一個B商品需要5元（2）設購買B商品m個，則購買A商品（80m）個，依題意，得：，解得：15m16m為整數(shù)，m15或16商店有2種購買方案，方案：購進A商品65個、B商品15個；方案：購進A商品64個、B商品16個【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組25（10分）如圖，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接CP，過點P作CP的垂線與y軸交于點E（1）求該拋物線的函數(shù)關系表達式；（2）當點P在線段OB（點P不與O、B重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點M，連接MN、MB請問：MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由【分析】（1）將點A、B的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解；（2）設OPx，則PB3x，由POECBP得出比例線段，可表示OE的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出線段OE的最大值；（3）過點M作MHy軸交BN于點H，由SMNBSBMH+SMNH即可求解【解答】解：（1）拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（3，0），把A、B兩點坐標代入上式，解得：，故拋物線函數(shù)關系表達式為yx22x3；（2）A（1，0），點B（3，0），ABOA+OB1+34，正方形ABCD中，ABC90，PCBE，OPE+CPB90，CPB+PCB90，OPEPCB，又EOPPBC90，POECBP，設OPx，則PB3x，OE，0x3，時，線段OE長有最大值，最大值為即OP時，線段OE有最大值最大值是（3）存在如圖，過點M作MHy軸交BN于點H，拋物線的解析式為yx22x3，x0，y3，N點坐標為（0，3），設直線BN的解析式為ykx+b，直線BN的解析式為yx3，設M（a，a22a3），則H（a，a3），MHa3（a22a3）a2+3a，SMNBSBMH+SMNH，a時，MBN的面積有最大值，最大值是，此時M點的坐標為（）【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，會利用相似比表示線段之間的關系利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關鍵26（12分）如圖，在等邊ABC中，AB6cm，動點P從點A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速運動動點Q同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動設運動時間為以t（s）過點P作PEAC于E，連接PQ交AC邊于D以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE（1）當t為何值時，BPQ為直角三角形；（2）是否存在某一時刻t，使點F在ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；（3）求DE的長；（4）取線段BC的中點M，連接PM，將BPM沿直線PM翻折，得BPM，連接AB，當t為何值時，AB的值最小？并求出最小值【分析】（1）當BQ2BP時，BPQ90，由此構建方程即可解決問題（2）如圖1中，連接BF交AC于M證明EF2EM，由此構建方程即可解決問題（3）證明DEAC即可解決問題（4）如圖3中，連接AM，AB根據(jù)ABAMMB求解即可解決問題【解答】解：（1）ABC是等邊三角形，B60，當BQ2BP時，BPQ90，6+t2（6t），t3，t3時，BPQ是直角三角形（2）存在理由：如圖1中，連接BF交AC于MBF平分ABC，BABC，BFAC，AMCM3cm，EFBQ，EFMFBCABC30，EF2EM，t2（3t），解得t3（3）如圖2中，作PKBC交AC于KABC是等邊三角形，BA60，PKBC，APKB60，AAPKAKP60，APK是等邊三角形，PAPK，PEAK，AEEK，APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC，PKDQCD（AAS），DKDC，DEEK+DK（AK+CK）AC3（cm）（4）如圖3中，連接AM，ABBMCM3，ABAC，AMBC，AM3，ABAMMB，AB33，AB的最小值為33【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考壓軸題