第二單元 因數與倍數【例1】從圖中的3個橄欖枝可以讀出：（ ）和（ ）是（ ）的因數，（ ）是（ ）和（ ）的倍數。解析：本題考查的知識點有數學的“數形結合”思想和利用因數、倍數知識判斷誰是誰的因數，誰是誰的倍數。解答時要先讀懂圖形中隱含的數學信息：每支樹葉5片，3支共有15片樹葉。這樣就可以得出53=15、153=5、155=3，所以5和3是15的因數，15是5和3的倍數。解答：5 3 15 15 3 5【例2】小明家有三種塑料桶，分別是5千克裝，10千克裝，2千克裝的。媽媽計劃買75千克花生油，選（ ）塑料桶裝能正好把豆油裝完，需這樣的桶（ ）個。解析：本題考查的知識點是判斷一個數是不是另一個數的因數。解答時可以利用“篩選法”和“排除法”來進行分析和思考。先看5、10和2這三個數哪個數是75的因數。因為75的個位數字是5，所以排除10和2，所以選用5千克裝的。又因為755=15（個），因此需要15個油桶。解答：5 15【例3】體育課上，30名學生站成一行，按老師口令從左到右報數：1，2，3，4，30。（1）老師先讓所報的數是2的倍數的同學去跑步，參加跑步的有多少人？（2）余下學生中所報的數是3的倍數的同學進行跳繩訓練，參加跳繩的有多少人？（3）兩批同學離開后，再讓余下同學中所報的數是5的倍數的同學去器材室拿籃球，有幾個人去拿籃球？（4）現在隊伍里還剩多少人？解析：本題考查的知識點：找一個數的倍數的方法，能被2、3、5整除的數的特征。由于數據較多，解答時可以采用“列舉法”先列出1至30數表，再利用排除法一一篩選來進行解答。（1）利用自然數中奇偶數的排列規律直接計算得出；（2）在余下的奇數中找出3的倍數；（3）找30以內能被5整除且不能被3整除的奇數；在前三題的基礎上；（4）通過計算得出。解答（1）302=15（人） 答：參加跑步的有15人。（2）30以內既能被3整除又是奇數的是：3，9，15，21，27。答：參加跳繩的有5人。（3）30以內能被5整除不能被3整除，且是奇數的數是：5，25。答：有2個人去拿籃球。（4）30-15-5-2=8（人）答：現在隊伍里還剩8人。【例4】學校要把74枝鉛筆和80本練習本平均獎給幾名優秀學生，結果鉛筆多出4枝，練習本少了4本。得獎的同學最多有多少人？解析：本題考查的知識點是靈活應用最大公因數的求解方法來解決實際問題。鉛筆74支減去4支，余下的70支是得獎同學人數的整數倍；80本練習本加上4本，得到84本是得獎同學人數的整數倍；所以得獎同學最多人數是70和84的最大公因數。方法提示：人數是鉛筆支數和練習本本數的最大公因數。解答：74-4=70 80+4=8470=25784=223770和84的最大公因數是27=14答：得獎的同學最多有14人。【例5】一盒棋子共有96個，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒數要相同，最后一次正好拿完。共有幾種拿法？解析：本題考查的知識點是找一個數的因數的方法。解答時要抓住拿完時又正好不多不少，說明每次拿出的個數都是96的因數來解答。解答：96=222223，那么96的因數可以表示為：96=196=248=332=616=424=812，一共有12個因數，不一次拿出，也不一個個地拿，96和1這對因數不要，這樣一共有10種拿法。答：共有10種拿法。【例6】小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再從北岸駛回南岸，不斷往返。（1）小船擺渡11次后，船在南岸還是在北岸，為什么？（2）有人說擺渡100次后，小船在北岸，他的說法對嗎？為什么？解析：本題考查的知識點是奇數和偶數的特征。解答時，可以采用列舉法列舉出小船最初在南岸（如下圖），則第一次擺渡后到達北岸，第二次擺渡到達南岸；第三次到達北岸，第四次南岸，這樣在南北岸之間不斷往返。由此發現，在擺渡奇數次后，船在北岸，擺渡遇數次后，船在南岸。解答：在擺渡奇數次后，小船在北岸，擺渡遇數次后，小船在南岸。（1）11為奇數，所以擺渡11次后，小船在北岸；（2）100為偶數，所以擺渡100次后，小船在南岸。【例7】在1100這100個自然數中任取其中的幾個數，要使這幾個數中至少有一個合數，則至少取（ ）個數。解析：本題考查的知識點有100以內的質數、抽屜原理。解答時先用列舉法列舉出1到100這100個自然數中共有25個質數，其中1既不是質數也不是合數。在最壞的情況下，拿到這26個非合數之后，只要在拿一個數，必然會出現一個合數。因此要保證多少取出一個合數，至少取27個數。解答：27【例8】幼兒園里有一些小朋友，王老師拿了48顆糖平均分給他們，正好分完。小朋友的人數可能是多少？解析：本題考查的知識點是靈活運用一個數的因數的個數來解答簡單的實際問題。解答時先用“列舉法”列舉出48的因數：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48。根據題意可以知道，不可能分給1個小朋友，因此可以平均分給2，3，4，6，8，12，16，24，48個小朋友。解答：小朋友的人數可能是2，3，4，6，8，12，16，24，48。【例9】仔細觀察填一填。（12,18,6,14,80,52,74,96）（11,9,23,29,35,49,81,97）（1）從第一個括號里任意取2個數和是( ),從第2個括號里任意取2個數和是（ ）。（2）分別從第1個括號里和第2個括號里各取一個數相加和是（ ）。（3）偶數+偶數=（）奇數+奇數=（ ）偶數奇數（）。解析：本題考查的知識點是用不完全歸納法概括奇數和偶數的運算性質。解答時，可以按照要求多列舉幾個數求和，然后再進行歸納和概括。解答：（1）偶數 偶數 （2）奇數 （3）偶數 偶數 奇數【例10】在17的后面添上三個數字，使這個五位數既是偶數，同時又有因數3和5，這個五位數最大是（ ），最小是（ ）。解析：本題考查的知識點有偶數、3、5倍數的特征，解答時要利用推理分析以及排除法來進行解答。首先，寫出來的數是偶數，這個數的個位數字只能是0、2、4、6、8；其次，這個數有因數5，說明個位數字只能是0或5，這樣可以確定個位數字只能是0；接著看含有因數3的數：寫出來的這個數的后三位要保證和是3的倍數，因為1+7=8，所以最大的數的百位上的數是9，十位上的數是7；最小的數百位上的數是0，十位上的數是1。解答：17970 17010