第四單元 分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)【例1】一根繩子第一次剪去，第二次剪去米，兩次減去的繩子相比（）A第一次長(zhǎng) B第二次長(zhǎng) C同樣長(zhǎng) D三種情況都有可能解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用分?jǐn)?shù)表示數(shù)量和分率時(shí)的比較與區(qū)別。解答時(shí)，先將這根繩子當(dāng)作單位“1”，第一次剪去，則還剩1-=，即無(wú)論第二次剪去多長(zhǎng)，都不如第一次剪去的多。解答此題的關(guān)鍵是利用剪去的與剩下的占全部的分率進(jìn)行比較即可，也就是說(shuō)，第二次剪去的米數(shù)為多余條件。解答：A【例2】圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的（）A B C D 解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用數(shù)學(xué)的“數(shù)形結(jié)合思想”和“份數(shù)法”來(lái)解答分?jǐn)?shù)問(wèn)題。從圖中讀出把單位“1”平均分成了7份，前面的4份中取了2份，后面的陰影部分是把剩下的3個(gè)小長(zhǎng)方形平分，即后面的陰影部分是1.5份，這樣陰影部分一共是3.5份，3.5份是7份的一半。所以選A。解答時(shí)，搞清楚把單位“1”（大長(zhǎng)方形）平均分成幾份，取了幾份是關(guān)鍵。解答：A【例3】用分?jǐn)?shù)表示陰影部分。解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想和“拼組法”解答看圖寫(xiě)分?jǐn)?shù)問(wèn)題。解答時(shí)，陰影部分不是標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)則圖形，需要用“拼組法”把它轉(zhuǎn)化為規(guī)則三角形來(lái)解答，也就是說(shuō)可以把圖中空白梯形換成涂色梯形，這樣可以得出陰影部分占整個(gè)長(zhǎng)方形的一半；或者把空吧三角形換成陰影三角形，也可以得出同樣的結(jié)論。解答：【例4】化簡(jiǎn)一個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，分子、分母同時(shí)除以2次3，分子、分母又同時(shí)除以一次4得，這個(gè)分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)前是多少？解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用“還原法”或“逆推法”來(lái)解答分?jǐn)?shù)的約分問(wèn)題。解答時(shí)，先從最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)開(kāi)始思考，讓的分子和分母分別乘約分的1次4和2次3，就可以求出化簡(jiǎn)前的分?jǐn)?shù)。解答：=【例5】一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母比分子大15，它的分?jǐn)?shù)值是，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用“抓不變量”的方法，利用份數(shù)知識(shí)解答分?jǐn)?shù)問(wèn)題。解答時(shí)，先求出分子和分母的份數(shù)差8-3=5，然后用數(shù)量差15除以份數(shù)差15（8-3）=3就是一份量；接著用還原法或逆推法計(jì)算出原來(lái)分?jǐn)?shù)的值：=解答：15（8-3）=3 =答：這個(gè)分?jǐn)?shù)是。【例6】食品店運(yùn)來(lái)一些面包，如果每2個(gè)裝一袋、每3個(gè)裝一袋、每5個(gè)裝一袋，都能正好裝完，這些面包至少有多少個(gè)?解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是2、3、5的倍數(shù)的特征和求2、3、5的最小公倍數(shù)。解答時(shí)，可以直接求出2、3、5三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，這個(gè)最小公倍數(shù)就是面包的最少個(gè)數(shù)。解答：2、3、5的最小公倍數(shù)是30，所以這些面包至少有30個(gè)。【例7】a、b是相鄰的兩個(gè)偶數(shù)（a、b均不為0），a和b的最大公因數(shù)是（）。A ab B 2 C a+b D ab2解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用“簡(jiǎn)單枚舉法”來(lái)歸納、概括兩個(gè)相鄰非0偶數(shù)的最大公因數(shù)。因?yàn)閍、b是兩個(gè)相鄰的非零偶數(shù)，即兩數(shù)相差2，如：2和4，它們的最大公因數(shù)是2；4和6，它們的最大公因數(shù)是2；再如10和12的最大公因數(shù)還是2，所以a、b的最大公因數(shù)是2。【例8】求12和18的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法有列舉法、短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、篩選法等。一般情況下，兩個(gè)數(shù)較小時(shí)，用列舉法就可以很快求出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)；而兩個(gè)數(shù)較大時(shí)，用短除法比較簡(jiǎn)單。用短除法求最大公因數(shù)時(shí)，只需把所有的除數(shù)相乘；而求最小公倍數(shù)時(shí)，需要把除數(shù)和商都相乘。當(dāng)兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1時(shí)，直接就可得出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的積；當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，最大公因數(shù)就是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)就是較大的數(shù)。顯然12和18不屬于這兩種情況，可以用上面介紹的方法求出答案。解答：方法一篩選法。(1)12的因數(shù)有1，2，3，4，6，12。12的因數(shù)中是18的因數(shù)的有1，2，3，6。12和18的最大公因數(shù)是6。(2)18的倍數(shù)有18，36，54，72，18的倍數(shù)中是12的倍數(shù)的有36，72，12和18的最小公倍數(shù)是36。方法二列舉法。(1)12和18的最大公因數(shù)是6。(2)12和18的最小公倍數(shù)是36。方法三分解質(zhì)因數(shù)法。12=223 18=23312和18的最大公因數(shù)：236；最小公倍數(shù)：232336。方法四短除法。6 12 182 3 12和18的最大公因數(shù)：6；最小公倍數(shù)：62336。【例9】大雪后的一天，佳美和爸爸從同一點(diǎn)出發(fā)沿同一方向分別步測(cè)一個(gè)圓形花圃的周長(zhǎng)。佳美每步長(zhǎng)約72厘米，爸爸每步長(zhǎng)約90厘米，由于兩個(gè)人的腳印有重合，所以雪地上只留下80個(gè)腳印。請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)約多少米？解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用“枚舉法”求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)解決問(wèn)題。解答時(shí)，先求出72和90的最小公倍數(shù)是360，也就是說(shuō)他們倆每走360厘米就有一個(gè)腳印重合。因?yàn)椋杭衙雷咭徊绞?2厘米，二步是144厘米，三步是216厘米，四步是288厘米，五步是360厘米。爸爸走一步是90厘米，二步是180厘米，三步是270厘米，四步是360厘米。他們兩每走360厘米就有8個(gè)腳印。解答：360（808）=3600（厘米）=36米答：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是36米。【例10】分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上一個(gè)數(shù)后，約分得，分子和分母同時(shí)加上的數(shù)是多少？解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用抓不變量的方法解答分?jǐn)?shù)的約分問(wèn)題。分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上一個(gè)相同的數(shù)，說(shuō)明分子和分母的差不變，還是13-5=8；又由于新分?jǐn)?shù)約分后是，則現(xiàn)在的分子和分母的差從8到1，可以知道分子和分母都縮小到了原來(lái)的，也就是將的分子和分母同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的8倍，分子和分母的差才是8，這樣，的分子和分母同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的8倍是，8-5=3,16-13=3，所以同時(shí)加上的數(shù)是3。解答：（13-5）（2-1）-5=3答：時(shí)加上的這個(gè)數(shù)是3。【例11】在下圖的方框中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，直線的上面填假分?jǐn)?shù)，直線的下面填帶分?jǐn)?shù)。解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用對(duì)應(yīng)法和數(shù)形結(jié)合思想解答填寫(xiě)直線上的數(shù)問(wèn)題。解答時(shí)，明確線段圖中每一小格代表多少、單位“1”被平均分成了多少份，要填寫(xiě)的方框中的數(shù)在哪兩個(gè)整數(shù)之間是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，最后根據(jù)上面的判斷再填寫(xiě)出正確的結(jié)果。解答：【例12】把0.29、0.3、和按照從小到大的順序排列。解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)從而比較數(shù)的大小。解答時(shí)，先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，然后通過(guò)比較小數(shù)的大小，再比較出原來(lái)給出的數(shù)的大小。解答：0.29=0.29 0.3=0.3 0.2857、=0.25、0.33因?yàn)椋?.250.28570.290.30.33所以，0.290.3【例13】填一填。（1）（2）解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想來(lái)解答分?jǐn)?shù)變形問(wèn)題。（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系來(lái)進(jìn)行填空。填空時(shí)注意，抓住分?jǐn)?shù)的值不變這一基本條件，變化的是分?jǐn)?shù)的分子和分母。（2）先通分，把和化成和，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間寫(xiě)不出分母是10的分?jǐn)?shù)，接著根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把和轉(zhuǎn)化為分母是20的分?jǐn)?shù)為和，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間只能寫(xiě)出分母是20的一個(gè)分?jǐn)?shù)是；要求寫(xiě)出兩個(gè)，繼續(xù)根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為分母是30的分?jǐn)?shù)為和，這樣可以寫(xiě)出兩個(gè)分母是30的分?jǐn)?shù)，分別為 和解答：（1）4 36 9 16 96 3（2） 【例14】一個(gè)分?jǐn)?shù)（a和b都是自然數(shù)），已知5a9, 1b3,這個(gè)分?jǐn)?shù)可能是哪些分?jǐn)?shù)？解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有分類(lèi)討論思想和組合法。解答時(shí)，先分情況看分母可能取哪些整數(shù)，再看分子肯能取哪些整數(shù)，最后再確定這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少。因?yàn)閍和b都是自然數(shù)，且5a9，所以分母可能是6、7或8,分子只能是2，分?jǐn)?shù)可能是、或。解答：這個(gè)分?jǐn)?shù)可能是、或。【例15】一瓶水，亮亮喝了一半，媽媽喝了剩下的一半，他們喝的同樣多嗎？解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不同的單位“1”的。解答時(shí)為了區(qū)分和比較亮亮喝的一半和媽媽喝的一半的不同，可以采取圖示法來(lái)理解（如下圖）。解答：亮亮喝的多。【例16】比較和的大小解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異分母分?jǐn)?shù)的大小比較，解答時(shí)可以用通分的方法比較分?jǐn)?shù)的大小；還可以結(jié)合分?jǐn)?shù)與的大小比較（找中間數(shù)比較的方法）、以及化成分子相同的數(shù)的方法來(lái)比較分?jǐn)?shù)的大小。解答：方法提示：通分的方法方法一：因?yàn)椋? =，所以。方法提示：找中間數(shù)的方法方法二：因?yàn)椋?所以，方法提示：化成相同的分子的方法方法三：因?yàn)椋? =，所以