第1課時 二次函數的圖象與性質教學目標【知識與技能】1.會用描點法畫函數的圖象，并根據圖象認識、理解和掌握其性質2.體會數形結合的轉化，能用的圖象和性質解決簡單的實際問題【過程與方法】經歷探索二次函數圖象的作法和性質的過程，獲得利用圖象研究函數的經驗，培養觀察、思考、歸納的良好思維習慣【情感態度】通過動手畫圖，同學之間交流討論，達到對二次函數圖象和性質的真正理解，從而產生對數學的興趣，調動學生的積極性【教學重點】1.會畫的圖象2.理解，掌握圖象的性質【教學難點】二次函數圖象及性質探究過程和方法的體會教學過程教學過程一、情境導入，初步認識問題1 請同學們回憶一下一次函數的圖象、反比例函數的圖象的特征是什么?二次函數的圖象是什么形狀呢?問題2 如何用描點法畫一個函數圖象呢?【教學說明】 略；列表、描點、連線二、思考探究，獲取新知探究1 畫二次函數的圖象【教學說明】要求同學們動手，按“列表、描點、連線”的步驟畫圖y=x2的圖象，同學們畫好后相互交流、展示，表揚畫得比較規范的同學從列表和描點中，體會圖象關于y軸對稱的特征強調畫拋物線的三個誤區誤區一：用直線連結，而非光滑的曲線連結，不符合函數的變化規律和發展趨勢如圖(1)就是y=x2的圖象的錯誤畫法誤區二：并非對稱點，存在漏點現象，導致拋物線變形圖(2)就是漏掉點(0，0)的y=x2的圖象的錯誤畫法誤區三：忽視自變量的取值范圍，拋物線要求用平滑曲線連點的同時，還需要向兩旁無限延伸，而并非到某些點停止如圖(3)，就是到點(-2，4)，(2，4)停住的y=x2圖象的錯誤畫法探究2 圖象的性質在同一坐標系中，畫出y=x2， ，y=2x2的圖象【教學說明】要求同學們獨立完成圖象，教師幫助引導，強調畫圖時注意每一個函數圖象的對稱性動腦筋觀察上述圖象的特征(共同點)，從而歸納二次函數的圖象和性質【教學說明】教師引導學生觀察圖象，從開口方向，對稱軸，頂點，y隨x的增大時的變化情況等幾個方面讓學生歸納，教師整理講評、強調圖象的性質1.圖象開口向上2.對稱軸是y軸，頂點是坐標原點，函數有最低點3.當x0時，y隨x的增大而增大，簡稱右升；當x0時，y隨x的增大而減小，簡稱左降三、典例精析，掌握新知例 已知函數是關于x的二次函數(1)求k的值(2)k為何值時，拋物線有最低點，最低點是什么？在此前提下，當x在哪個范圍內取值時，y隨x的增大而增大？【分析】此題是考查二次函數y=ax2的定義、圖象與性質的，由二次函數定義列出關于k的方程，進而求出k的值，然后根據k+20，求出k的取值范圍，最后由y隨x的增大而增大，求出x的取值范圍解：(1)由已知得 ，解得k=2或k=-3所以當k=2或k=-3時，函數是關于x的二次函數(2)若拋物線有最低點，則拋物線開口向上，所以k+20由（1）知k=2，最低點是（0，0)，當x0時，y隨x的增大而增大四、運用新知，深化理解1.（廣東廣州中考）下列函數，當x0時，y值隨x值增大而減小的是（ ）Ay=x2 By=x-1 C D2.已知點（-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函數y=x2的圖象上，則（ ）Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y1y33.拋物線y=x2的開口向 ，頂點坐標為 ，對稱軸為 ，當x=-2時，y= ；當y=3時，x= ，當x0時，y隨x的增大而 ；當x0時，y隨x的增大而 4.如圖，拋物線y=ax2上的點B，C與x軸上的點A（-5，0），D（3，0）構成平行四邊形ABCD，BC與y軸交于點E（0，6），求常數a的值【教學說明】學生自主完成，加深對新知識的理解和掌握，當學生疑惑時，教師及時指導【答案】1D 2A 3上，(0，0)，y軸， ，3，減小，增大4解：依題意得：BC=AD=8，BCx軸，且拋物線y=ax2上的點B，C關于y軸對稱，又BC與y軸交于點E（0，6），B點為（-4，6），C點為（4，6），將（4，6）代入y=ax2得：a=五、師生互動，課堂小結1.師生共同回顧二次函數圖象的畫法及其性質2.通過這節課的學習，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問?請與同伴交流課后作業教材練習第1、2題教學反思本節課是從學生畫y=x2的圖象，從而掌握二次函數圖象的畫法，再由圖象觀察、探究二次函數的性質，培養學生動手、動腦、探究歸納問題的能力第2課時 二次函數的圖象與性質教學目標【知識與技能】1.會用描點法畫函數的圖象，并根據圖象認識、理解和掌握其性質2.體會數形結合的轉化，能用的圖象與性質解決簡單的實際問題【過程與方法】經歷探索二次函數圖象的作法和性質的過程，獲得利用圖象研究函數的經驗，培養觀察、思考、歸納的良好思維習慣【情感態度】通過動手畫圖，同學之間交流討論，達到對二次函數y=ax2(a0)圖象和性質的真正理解，從而產生對數學的興趣，調動學習的積極性【教學重點】會畫的圖象；理解、掌握圖象的性質【教學難點】二次函數圖象的性質及其探究過程和方法的體會教學過程一、情境導入，初步認識1.在坐標系中畫出y=x2的圖象，結合y=x2的圖象，談談二次函數y=ax2(a0)的圖象具有哪些性質？2.你能畫出y=x2的圖象嗎？二、思考探究，獲取新知探究1 畫的圖象請同學們在上述坐標系中用“列表、描點、連線”的方法畫出y=x2的圖象【教學說明】教師要求學生獨立完成，強調畫圖過程中應注意的問題，同學們完成后相互交流，表揚圖象畫得“美觀”的同學問：從所畫出的圖象進行觀察，y=x2與y=x2有何關系？歸納：y=x2與y=x2二者圖象形狀完全相同，只是開口方向不同，兩圖象關于y軸對稱(教師引導學生從理論上進行證明這一結論)探究2 二次函數性質問：你能結合y=x2的圖象，歸納出圖象的性質嗎？【教學說明】教師提示應從開口方向，對稱軸，頂點位置，y隨x的增大時的變化情況幾個方面歸納，教師整理，強調圖象的性質1.開口向下2.對稱軸是y軸，頂點是坐標原點，函數有最高點3.當x0時，y隨x的增大而減小，簡稱右降，當x0時，y隨x的增大而增大，簡稱左升探究3 二次函數的圖象及性質學生回答：【教學點評】一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是 ，頂點是 ，當a0時拋物線的開口向 ，頂點是拋物線的最 點，a越大，拋物線開口越 ；當a0時，拋物線的開口向 ，頂點是拋物線的最 點，a越大，拋物線開口越 ，總之，|a|越大，拋物線開口越 答案：y軸，（0，0），上，低，小，下，高，大，小三、典例精析，掌握新知例1 填空：函數的圖象是 ，頂點坐標是 ，對稱軸是 ，開口方向是 函數y=x2，y=x2和y=的圖象如圖所示，請指出三條拋物線的解析式解：拋物線，（0，0），y軸，向上；根據拋物線y=ax2中，a的值的作用來判斷，上面最外面的拋物線為y=x2，中間為y=x2，在x軸下方的為y=【教學說明】解析式需化為一般式，再根據圖象特征解答，避免發生錯誤拋物線y=ax2中，當a0時，開口向上；當a0時，開口向下，|a|越大，開口越小例2 已知拋物線y=ax2經過點（1，-1），求y=-4時x的值【分析】把點(1，-1)的坐標代入y=ax2，求得a的值，得到二次函數的表達式，再把y=-4代入已求得的表達式中，即可求得x的值解：點（1，-1）在拋物線y=ax2上，-1=a12，a=-1，拋物線為y=-x2當y=-4時，有-4=-x2，x=2【教學說明】在求y=ax2的解析式時，往往只須一個條件代入即可求出a值四、運用新知，深化理解1.下列關于拋物線y=x2和y=-x2的說法，錯誤的是（ ）A拋物線y=x2和y=-x2有共同的頂點和對稱軸B拋物線y=x2和y=-x2關于x軸對稱C拋物線y=x2和y=-x2的開口方向相反D點（-2，4）在拋物線y=x2上，也在拋物線y=-x2上2.二次函數y=ax2與一次函數y=-ax(a0)在同一坐標系中的圖象大致是（ ）3.二次函數，當x0時，y隨x的增大而減小，則m= 4.已知點A（-1，y1)，B(1，y2)，C(a，y3)都在函數y=x2的圖象上，且a1，則y1，y2，y3中最大的是 5.已知函數y=ax2經過點(1，2)求a的值；當x0時，y的值隨x值的增大而變化的情況【教學說明】學生自主完成，加深對新知識的理解和掌握，當學生疑惑時，教師及時指導【答案】1D 2B 32 4y3 5a=2 當x0時，y隨x的增大而減小五、師生互動，課堂小結這節課你學到了什么，還有哪些疑惑？在學生回答的基礎上，教師點評：（1）圖象的性質；（2）y=ax2(a0)關系式的確定方法課后作業教材練習第12題教學反思本節課仍然是從學生畫圖象，結合上節課y=ax2(a0)的圖象和性質，從而得出的圖象和性質，進而得出y=ax2（a0)的圖象和性質，培養學生動手、動腦、合作探究的學習習慣第3課時 二次函數的圖象與性質教學目標【知識與技能】1.能夠畫出的圖象，并能夠理解它與y=ax2的圖象的關系，理解a，h對二次函數圖象的影響2.能正確說出的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標【過程與方法】經歷探索二次函數的圖象的作法和性質的過程，進一步領會數形結合的思想【情感態度】1.在小組活動中體會合作與交流的重要性2.進一步豐富數學學習的成功體驗，認識到數學是解決實際問題的重要工具，初步形成積極參與數學活動的意識【教學重點】掌握的圖象及性質【教學難點】理解與y=ax2圖象之間的位置關系，理解a，h對二次函數圖象的影響教學過程一、情境導入，初步認識1.在同一坐標系中畫出y=x2與y=(x-1)2的圖象，完成下表2.二次函數y=(x-1)2的圖象與y=x2的圖象有什么關系？3.對于二次函數(x-1)2，當x取何值時，y的值隨x值的增大而增大？當x取何值時，y的值隨x值的增大而減小?二、思考探究，獲取新知歸納二次函數的圖象與性質并完成下表 三、典例精析，掌握新知例1 教材例3【教學說明】二次函數y=ax2與y=a(x-h)2是有關系的，即左、右平移時“左加右減” 例如y=ax2向左平移1個單位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2個單位得到y=a(x-2)2的圖象例2 已知直線y=x+1與x軸交于點A，拋物線y=-2x2平移后的頂點與點A重合水平移后的拋物線l的解析式；若點B（x1，y1)，C(x2，y2)在拋物線l上，且x1x2，試比較y1，y2的大小解：y=x+1，令y=0，則x=-1，A（-1，0)，即拋物線l的頂點坐標為（-1，0），又拋物線l是由拋物線y=-2x2平移得到的，拋物線l的解析式為y=-2(x+1)2由可知，拋物線l的對稱軸為x=-1，a=-20，當x-1時，y隨x的增大而減小，又x1x2，y1y2【教學說明】二次函數的增減性以對稱軸為分界，畫圖象取點時以頂點為分界對稱取點四、運用新知，深化理解1.二次函數y=15(x-1)2的最小值是（ ）A-1 B1 C0 D沒有最小值2.拋物線y=-3(x+1)2不經過的象限是（ ）A第一、二象限 B第二、四象限 C第三、四象限 D第二、三象限3.在反比例函數y=中，當x0時，y隨x的增大而增大，則二次函數y=k(x-1)2的圖象大致是（ ）4.（1）拋物線y=x2向 平移 個單位得拋物線y=(x+1)2；(2)拋物線 向右平移2個單位得拋物線y=-2(x-2)25.已知拋物線y=a(x-h)2的對稱軸為x=-2，且過點（1，-3）(1)求拋物線的解析式；(2)畫出函數的大致圖象；(3)從圖象上觀察，當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，函數有最大值（或最小值）？【教學說明】學生自主完成，教師巡視解疑【答案】1C 2A 3B 4(1)左，1 (2)y=-2x25解：(1)y=(x+2)2 (2)略 （3）當x-2時，y隨x增大而增大；當x=-2時，y有最大值0五、師生互動，課堂小結1.這節課你學到了什么?還有哪些疑惑?2.在學生回答的基礎上，教師點評：(1)y=a(x-h)2的圖象與性質；（2）y=a(x-h)2與y=ax2的圖象的關系課后作業教材練習第1、2題教學反思通過本節學習使學生認識到y=a(x-h)2的圖象是由y=ax2的圖象左右平移得到的，初步認識到a，h對y=a(x-h)2位置的影響，a的符號決定拋物線方向，|a|決定拋物線開口的大小，h決定向左右平移；從中領會數形結合的數學思想第4課時 二次函數的圖象與性質教學目標【知識與技能】1.會用描點法畫二次函數的圖象掌握的圖象和性質2.掌握與y=ax2的圖象的位置關系3.理解，及的圖象之間的平移轉化【過程與方法】經歷探索二次函數的圖象的作法和性質的過程，進一步領會數形結合的思想，培養觀察、分析、總結的能力【情感態度】1.在小組活動中進一步體會合作與交流的重要性2.體驗數學活動中充滿著探索性，感受通過認識觀察，歸納，類比可以獲得數學猜想的樂趣【教學重點】二次函數的圖象與性質【教學難點】由二次函數的圖象的軸對稱性列表、描點、連線教學過程一、情境導入，初步認識復習回顧：同學們回顧一下： ，（a0)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標，y隨x的增減性分別是什么？ 如何由 (a0)的圖象平移得到的圖象？猜想二次函數的圖象開口方向、對稱軸、頂點坐標及y隨x的增減性如何？二、思考探究，獲取新知探究1 的圖象和性質1.由老師提示列表，根據拋物線的軸對稱性觀察圖象回答下列問題：y=(x+1)2-1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標及y隨x的增減性如何？ 將拋物線y=x2向左平移1個單位，再向下平移1個單位得拋物線y=(x+1)2-12.同學們討論回答：一般地，當h0，k0時，把拋物線向右平移h個單位，再向上平移k個單位得拋物線；平移的方向和距離由h，k的值來決定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標及y隨x的增減性如何？探究2 二次函數的應用【教學說明】二次函數的圖象是 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，當a0時，開口向 ，當a0時，開口向 答案：拋物線，直線x=h，(h，k)，上，下三、典例精析，掌握新知例1 已知拋物線，將它沿x軸向右平移3個單位后，又沿y軸向下平移2個單位，得到拋物線的解析式為y=(x+1)2-4，求原拋物線的解析式 【分析】平移過程中，前后拋物線的形狀，大小不變，所以a=，平移時應抓住頂點的變化，根據平移規律可求出原拋物線頂點，從而得到原拋物線的解析式 解：拋物線y=(x+1)2-4的頂點坐標為（-1，-4)，它是由原拋物線向右平移3個單位，向下平移2個單位而得到的，所以把現在的頂點向相反方向移動就得到原拋物線頂點坐標為（-4，-2)故原拋物線的解析式為y=(x+4)2-2【教學說明】拋物線平移不改變形狀及大小，所以a值不變，平移時抓住關鍵點：頂點的變化例2教材例4：畫二次函數的圖像。解：對稱軸是直線，頂點坐標為，列表：-10123-3-2.5-11.55描點和連線：畫出圖像在對稱軸右邊的部分，利用對稱性，畫出圖像在對稱軸左邊的部分，這樣就得到了的圖像，如上圖。【教學說明】二次函數的畫圖：（1）畫出對稱軸，描出頂點。（2）簡單列表。（3）利用對稱性畫出整個圖形。四、運用新知，深化理解1若拋物線y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2，則必須（ ）A先向左平移4個單位，再向下平移1個單位B先向右平移4個單位，再向上平移1個單位C先向左平移1個單位，再向下平移4個單位D先向右平移1個單位，再向上平移4個單位2.拋物線y=x2-4與x軸交于B，C兩點，頂點為A，則ABC的周長為（ ）A4 B4+4 C12 D2+43.函數y=ax2-a與y=ax-a(a0)在同一坐標系中的圖象可能是（ ）4.二次函數y=-2x2+6的圖象的對稱軸是 ，頂點坐標是 ，當x 時，y隨x的增大而增大5.已知函數y=ax2+c的圖象與函數y=-3x2-2的圖象關于x軸對稱，則a= ，c= 6.把拋物線y=(x-1)2沿y軸向上或向下平移，所得拋物線經過Q（3，0），求平移后拋物線的解析式【教學說明】學生自主完成，加深對新知的理解，教師引導解疑【答案】1B 2B 3C 4y軸，（0，6），0 53，2 6y=(x-1)2-4五、師生互動，課堂小結1.這節課你學到了什么，還有哪些疑惑？2.在學生回答的基礎上，教師點評：二次函數的圖象與性質；如何由拋物線平移得到拋物線【教學說明】教師應引導學生自主小結，加深理解掌握與二者圖象的位置關系課后作業教材練習第13題教學反思掌握函數，圖象的變化關系，從而體會由簡單到復雜的認識規律第5課時 二次函數的圖象與性質教學目標【知識與技能】1.會用描點法畫二次函數的圖象2.會用配方法求拋物線的頂點坐標、開口方向、對稱軸、y隨x的增減性3.能通過配方法求出二次函數(a0)的最大或最小值；能利用二次函數的性質求實際問題中的最大值或最小值【過程與方法】1.經歷探索二次函數(a0)的圖象的作法和性質的過程，體會建立二次函數(a0)對稱軸和頂點坐標公式的必要性2.在學習(a0)的性質的過程中，滲透轉化（化歸）的思想【情感態度】進一步體會由特殊到一般的化歸思想，形成積極參與數學活動的意識【教學重點】用配方法求(a0)的頂點坐標；會用描點法畫(a0)的圖象并能說出圖象的性質【教學難點】能利用二次函數(a0)的對稱軸和頂點坐標公式，解決一些問題，能通過對稱性畫出二次函數(a0)的圖象 教學過程一、情境導入，初步認識請同學們完成下列問題1.把二次函數y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式2.寫出二次函數y=-2x2+6x-1的開口方向，對稱軸及頂點坐標3.畫y=-2x2+6x-1的圖象4.拋物線y=-2x2如何平移得到y= -2x2+6x-1的圖象5.二次函數y=-2x2+6x-1的y隨x的增減性如何？【教學說明】上述問題教師應放手引導學生逐一完成，從而領會與的轉化過程二、思考探究，獲取新知探究1 如何畫圖象，你可以歸納為哪幾步？學生回答、教師點評：一般分為三步：1.先用配方法求出的對稱軸和頂點坐標2.列表，描點，連線畫出對稱軸右邊的部分圖象3.利用對稱點，畫出對稱軸左邊的部分圖象探究2 二次函數圖象的性質有哪些？你能試著歸納嗎？學生回答，教師點評：拋物線，對稱軸為，頂點坐標為()，當a0時，若，y隨x增大而增大，若，y隨x的增大而減小；當a0時，若，y隨x的增大而減小，若，y隨x的增大而增大探究3 二次函數在什么情況下有最大值，什么情況下有最小值，如何確定？學生回答，教師點評：三、典例精析，掌握新知例1 將下列二次函數寫成頂點式y=a(x-h)2+k的形式，并寫出其開口方向，頂點坐標，對稱軸y=x2-3x+21 y=-3x2-18x-22解：y=x2-3x+21=(x2-12x)+21=(x2-12x+36-36)+21=(x-6)2+12此拋物線的開口向上，頂點坐標為（6，12），對稱軸是x=6y=-3x2-18x-22= -3(x2+6x)-22=-3(x2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5此拋物線的開口向下，頂點坐標為（-3，5)，對稱軸是x=-3【教學說明】第小題注意h值的符號，配方法是數學的一個重要方法，需多加練習，熟練掌握；拋物線的頂點坐標也可以根據公式直接求解例2 用總長為60m的籬笆圍成的矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化，l是多少時，場地的面積S最大？S與l有何函數關系？S舉一例說明S隨l的變化而變化? 怎樣求S的最大值呢?L解：S=l (30-l)=- l2+30l (0l30)=-( l2-30l)=-( l-15)2+225畫出此函數的圖象，如圖l=15時，場地的面積S最大（S的最大值為225)【教學說明】二次函數在幾何方面的應用特別廣泛，要注意自變量的取值范圍的確定，同時所畫的函數圖象只能是拋物線的一部分四、運用新知，深化理解1.拋物線y=x2-6x+5的頂點坐標為（ ）A(3，-4) B(3，4) C(-3，-4) D(-3，4)2.已知二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，當-5x0時，下列說法正確的是（ ）A有最小值5、最大值0B有最小值-3、最大值6C有最小值0、最大值6D有最小值2、最大值63.如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向上，圖象經過點（-1，2）和（1，0），且與y軸相交于負半軸(1)給出四個結論：a0；b0；c0；a+b+c=0其中正確結論的序號是 (2)給出四個結論：abc0；2a+b0；a+c=1；a1其中正確結論的序號是 【教學說明】通過練習，鞏固掌握的圖象和性質【答案】1A 2B 3(1) (2)五、師生互動，課堂小結1.這節課你學到了什么？還有哪些疑惑？2.在學生回答的基礎上，教師點評：（1）用配方法求二次的頂點坐標、對稱軸；（2）由的圖象判斷與a，b，c有關代數式的值的正負；（3）實際問題中自變量取值范圍及函數最值課后作業教材練習第13題教學反思的圖象和性質可以看作是y=ax2，y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k的圖象和性質的歸納與綜合，讓學生初步體會由簡單到復雜，由特殊到一般的認識規律