5.3平行線的性質(zhì)5.3.2命題、定理、證明人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)小明的百米成績(jī)有進(jìn)步，已達(dá)到9秒9.有一位田徑教練向領(lǐng)導(dǎo)匯報(bào)訓(xùn)練成績(jī)；相傳閻錫山在觀看士兵籃球賽雙方爭(zhēng)搶非常激烈.于是命令:“不要再搶啦！每個(gè)人發(fā)一個(gè)球！”1.理解命題，定理及證明的概念，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論.2.會(huì)判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了解反例的作用.素養(yǎng)目標(biāo)3.理解證明要步步有據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.請(qǐng)同學(xué)讀出下列語(yǔ)句：（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）對(duì)頂角相等；（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式像這樣判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題（proposition）.2.如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一件事情作出任何判斷那么它就不是命題.如：畫(huà)線段AB=CD.1.只要對(duì)一件事情作出了判斷不管正確與否都是命題.如：相等的角是對(duì)頂角.注意：例1判斷下列四個(gè)語(yǔ)句中，哪個(gè)是命題，哪個(gè)不是命題？并說(shuō)明理由：（1）對(duì)頂角相等嗎？（2）畫(huà)一條線段AB=2cm（3）兩條直線平行，同位角相等；（4）相等的兩個(gè)角，一定是對(duì)頂角.解：（3）（4）是命題，（1）（2）不是命題.理由如下：（1）是問(wèn)句，故不是命題；（2）是做一件事情，也不是命題.命題的識(shí)別1.下列語(yǔ)句在表述形式上，哪些是命題？哪些不是命題？（1）對(duì)頂角相等；（2）畫(huà)一個(gè)角等于已知角；（3）兩直線平行，同位角相等；（4）a、b兩條直線平行嗎？（5）溫柔的李明明；（6）玫瑰花是動(dòng)物；（7）若a24，求a的值；（8）若a2b2，則ab.否是否否是否是是觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？與同伴交流.（1）如果兩個(gè)三角形的三條邊相等，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；（2）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)也相等；（3）如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，那么這個(gè)數(shù)是3.都是“如果那么”的形式命題一般都可以寫(xiě)成“如果那么”的形式.1.“如果”后接的部分是題設(shè)2.“那么”后接的部分是結(jié)論.如命題：熊貓沒(méi)有翅膀.改寫(xiě)為：如果這個(gè)動(dòng)物是熊貓，那么它就沒(méi)有翅膀.注意：添加“如果”“那么”后，命題的意義不能改變，改寫(xiě)的句子要完整，語(yǔ)句要通順，使命題的題設(shè)和結(jié)論更明朗，易于分辨，改寫(xiě)過(guò)程中，要適當(dāng)增加詞語(yǔ)，切不可生搬硬套.命題題設(shè)結(jié)論已知事項(xiàng)由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)兩直線平行，同位角相等題設(shè)（條件）結(jié)論命題的組成：例2分別把下列命題寫(xiě)成“如果那么”的形式.(1)兩點(diǎn)確定一條直線；(2)等角的補(bǔ)角相等；(3)內(nèi)錯(cuò)角相等.解：(1)如果有兩個(gè)定點(diǎn)，那么過(guò)這兩點(diǎn)有且只有一條直線；(2)如果兩個(gè)角分別是兩個(gè)等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；(3)如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等.命題表述形式的變換2.請(qǐng)將它們改寫(xiě)成“如果，那么”的形式.（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）對(duì)頂角相等如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)；如果等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，那么結(jié)果仍是等式；如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)相加得0；如果兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)；如果兩個(gè)角互為對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等有些命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立；而有些命題題設(shè)成立時(shí)，結(jié)論不一定成立.正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題.如命題：“如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角”就是一個(gè)錯(cuò)誤的命題.如命題：“如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除”就是一個(gè)正確的命題.確定一個(gè)命題真假的方法：利用已有的知識(shí)，通過(guò)觀察、驗(yàn)證、推理、舉反例等方法.例3下列命題哪些命題是正確的，哪些命題是錯(cuò)誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）對(duì)頂角相等真假命題的識(shí)別3.下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真命題還是假命題？（1）豬有四只腳；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等；（3）畫(huà)一條直線；（4）四邊形是正方形；（5）你的作業(yè)做完了嗎？（6）同位角相等，兩直線平行；（7）同角的補(bǔ)角相等；（8）同垂直于一直線的兩直線平行；（9）過(guò)點(diǎn)P畫(huà)線段MN的垂線；（10）x2是真命題否是假命題是假命題否是真命題是真命題是真命題否否“因?yàn)樵缟衔野l(fā)現(xiàn)王五從蘋果園那邊過(guò)來(lái)，把一袋東西背回家，還發(fā)現(xiàn)我果園的蘋果被人偷了，我知道王五家沒(méi)有蘋果樹(shù).所以我家蘋果肯定是王五偷的.”情節(jié)1：一天早上，張老漢來(lái)到公安局里告狀說(shuō)：王五剛剛在他地里偷了一袋子蘋果.文局長(zhǎng)立即派干警將王五傳喚到公安局審訊:文局長(zhǎng)問(wèn)張老漢：“你怎知是王五偷了你的蘋果”這種從已知條件出發(fā)（列出理由），推斷出結(jié)論的證明方法，叫綜合法.綜合法是最常用的證明方法.情節(jié)2：文局長(zhǎng)一時(shí)拿不定主意，就問(wèn)旁邊的梁副局長(zhǎng)：“梁局長(zhǎng)，你怎么看？”梁局長(zhǎng)說(shuō)“這事要證明是王五干的，還得弄清那袋子里裝的是不是剛摘的蘋果，還要看看地里的腳印是不是王五的才行.如果袋子里裝的是剛摘的蘋果，且地里的腳印是王五的，那就一定是他偷的?！睆慕Y(jié)論出發(fā)，逆著尋找所需要的條件的思考過(guò)程，叫分析.在分析的過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)所需要的條件，都已具備或可從已知條件中推得.那么證明就很容易了.在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明.注意：證明的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等.證明的概念確定一個(gè)命題是假命題的方法：例如，要判定命題“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，可以舉出如下反例：如圖，OC是AOB的平分線，1=2，但它們不是對(duì)頂角.只要舉出一個(gè)例子（反例）：它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可.【討論】如何判定一個(gè)命題是假命題呢？舉反例分析：要證明AB，CD平行，就需要同位角相等的條件，圖中1與3就是同位角.我們只要找到：能說(shuō)明它們相等的條件就行了.從圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)：2與3是對(duì)頂角，所以3=2.這樣我們就找到了1與3相等的確切條件了.例4如圖，1=2，試說(shuō)明直線AB，CD平行.利用證明推理解決問(wèn)題證明：2與3是對(duì)頂角，3=2又1=21=3，ABCD4.如圖所示，直線AB和直線CD，直線BE和直線CF都被直線BC所截，在下面三個(gè)式子中，請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)作為題設(shè)，剩下的一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的推理過(guò)程ABCD，BECF，12題設(shè)(已知)；.結(jié)論(求證)：.理由：證明：ABCD，ABCDCB，又BECF.EBCFCB.ABCEBCDCBFCB，12.1.數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.兩點(diǎn)確定一條直線.兩點(diǎn)間線段最短.經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行.直線公理：線段公理：平行線公理：公理的概念2.有些命題是基本事實(shí)，還有些命題它們的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理.定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).同角或等角的補(bǔ)角相等.（2）余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等.（4）垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（1）補(bǔ)角的性質(zhì)：（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.垂線段最短.學(xué)過(guò)的定理：定理的概念例5已知：bc，ab求證：ac證明：ab（已知）1=90（垂直的定義）又bc（已知）2=1=90（兩直線平行，同位角相等）ac（垂直的定義）.利用公理定理進(jìn)行推理5.填空已知：如圖，1=2，3=4，求證：EGFH證明：1=2（已知）AEF=1（）；AEF=2（）ABCD（）BEF=CFE（）3=4（已知）BEF4=CFE3即GEF=HFE（）EGFH（）對(duì)頂角相等等量代換同位角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等等式性質(zhì)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（2019婁底模擬）給出下列說(shuō)法:(1)兩條直線被第三條直線所截同位角相等(2)平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交則它與另一條也相交(3)相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角(4)從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做這點(diǎn)到直線的距離.其中正確的命題有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)鞏固練習(xí)B1.如圖所示，從12CDAF三個(gè)條件中選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論所組成的命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3D2.下列命題：兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間，線段最短；對(duì)頂角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等；其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)C3.下列選項(xiàng)中，可以用來(lái)說(shuō)明命題“兩個(gè)銳角的和是銳角”是假命題的反例的是()A.A30，B40B.A30，B110C.A30，B70D.A30，B90C4.下列命題是真命題的是()A.相等的角是對(duì)頂角B.如果一個(gè)數(shù)能被3整除，那么它也能被6整除C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)D.同位角相等，兩直線平行D5.如圖所示，已知AC與BD相交于點(diǎn)O，OE是AOD的平分線，可以作為假命題“相等的角是對(duì)頂角”的反例的是()A.AOBDOCB.EOCDOCC.EOBEOCD.EOCDOCC6.在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的依據(jù).如圖，ABCDCBDE求證：B+D=180證明：ABCDB=C()CBDEC+D=180()B+D=180()等量代換兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)(1)如圖所示，若12，則ABCD，試判斷該命題的真假：(填“真”或“假”).(2)若上述命題為真命題，請(qǐng)說(shuō)明理由，若上述命題為假命題，請(qǐng)你再添加一條件，使該命題成為真命題，并說(shuō)明理由.假解：加條件：BEFD.理由如下：BEFD，EBDFDN(兩直線平行，同位角相等).又12，ABDCDN.ABCD(同位角相等，兩直線平行).證明：ABCD(已知)，BPQCQP(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)又PG平分BPQ，QH平分CQP(已知)，GPQBPQHQPCQP(角平分線的定義)，GPQHQP(等量代換)，PGHQ(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)如圖，已知ABCD，直線AB，CD被直線MN所截，交點(diǎn)分別為P，Q，PG平分BPQ，QH平分CQP，求證：PGHQ.真命題假命題公理定理（只需舉一個(gè)反例）（不需證明）（由推理證實(shí)）1.命題的定義:2.命題的組成:3.命題的分類：判斷一件事情的句子題設(shè)和結(jié)論課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊(cè)練習(xí)