1 公因數、最大公因數 第二課時n 教學內容教材3031頁，求最大公因數的方法。n 教學提示為了突出重難點，教學設計中專門安排了用短除法的方法求最大公因數，并且習題中也設計了用兩種方法求最大公因數的例子，讓學生明確求最大公因數用短除法是最簡便的，同時也突破了本課教學的重點。n 教學目標知識與能力學會求最大公因數的方法。過程與方法會用公因數、最大公因數的知識解決簡單的實際問題。情感、態度與價值觀培養對數學學習的興趣和邏輯推理能力。 n 重點、難點重點會用公因數、最大公因數的知識解決簡單的實際問題。難點會用公因數、最大公因數的知識解決簡單的實際問題。n 教學準備教師準備：多媒體課件學生準備：n 教學過程（一）新課導入：回顧舊知，引入新課1. 課件出示：找出10和4的公因數和最大公因數學生獨立解答，集體訂正結合此題，教師提出問題：你用什么方法求這兩個數的最大公因數？什么是公因數、最大公因數？設計意圖：回憶上節課學習的知識，檢查孩子的掌握情況。（二）探究新知：1.學習用短除法求最大公因數。師：上節課我們用列舉法、畫圖法求最大公因數，今天我們求最大公因數的另一種方法。課件出示：用短除法求出27和18的最大公因數3 27 18 3 9 63 227和18的最大公因數就是33=9引導學生觀察，3是27和18的公因數， 3是9和6的公因數，除到公因數只有1為止。 說明：教師講解時，要先讓學生明確先用27和18的公有的因數3去除，除得的商如果還有公因數就要繼續除，再用公因數3去除，一直除到公因數只有1為止。注意除時兩個數都要除以公因數。師：比較我們學過的三種方法，哪一種簡便一些。學生討論師小結：我們在求連個數的最大公因數時，通常使用短除法。2.倍數的關系的兩個數的最大公因數師：大家掌握了求最大公因數的方法，老師想考考大家。準備好你們的紙和筆，看誰先找出每組數的最大公因數。（出示課件）找出每組數的最大公因數6和12 18和54 24和72（1）師：用你喜歡的方法找到每組數的最大公因數學生獨立解答，指名板演，教師巡視，全班進行交流（2）師：仔細觀察，每組數的最大公因數與這組數有什么關系？你發現了什么？生1：我發現每組數中的小數就是這兩個數的最大公因數。生2：我發現一個數是另一個數的倍數，那它們的最大公因數是那個小數。(3)師：可以再舉例驗證一下嗎？(4)師生共同總結：如果一個數是另一個數的倍數，它們的最大公因數是那個小數。3.互質數關系的兩個數的最大公因數。課件出示第二組數：8和9、17和28、15和32(1) 找出每組數的最大公因數學生獨立解答，發現這些數的公因數只有1，那么它們的最大公因數就是1。(2)師：像上面這組數，它們只有公因數1，我們可以說公因數只有1的兩個數也叫做互質數。8和9是互質數，17和28是互質數。還能舉出幾組互質數嗎？（3）共同總結：如果兩個數是互質數，那么它們的最大公因數就是1。設計意圖：有一般到特殊，教學中培養學生自主學習和合作交流的態度，讓學生在老師的引導下，主動去獲取知識，并且尊重學生的差異，讓學生選擇自己喜歡的方式去解決數學問題，在體驗中總結出規律，歸納出方法。（三）鞏固新知，拓展提升：1.教材32頁自主練習第8題學生獨立思考并解答“可以選擇邊長是多少分米的正方形地板磚”使學生明確，要求的地板磚的邊長必須是微機室長和寬的公因數，也就是找90和60的公因數。2.教材32頁自主練習9學生審題，明確：把3種彩條截成同樣長的小段且沒有剩余，每段彩條最長幾厘米？就是求16、32、56的最大公因數。學生可以根據已有的知識經驗，用列表法也可以用短除法。指名學生板演，試用短除法求三個數的最大公因數集體訂正，師生共同總結方法：先用3個數公有的因數去除，一直除到三個數只有公因數1為止，再把所有的公因數連乘起來。設計意圖：公因數與最大公因數在解決實際問題中的應用，其實是對公因數的深度理解的過程，選擇這兩個練習題，主要是使學生感受最大公因數的應用，體會到這些現實問題雖然背景信息不一樣，但是都可以用最大公因數來解決，培養學生的抽象概括能力，形成模型思想。（四）達標反饋1.甲、乙是兩個相鄰的自然數，甲、乙兩數的最大公因數是（ ）A 1 B 甲 C 乙 D 甲乙兩數的積2. 13和26的最大公因數是（ ）。3.求下面每組數的最大公因數。27和36 16和20 4.將邊長80cm、寬60cm的紙板裁成同樣大小的正方形而沒有剩余，可以裁成邊長最大的正方形多少塊？答案：1.A 2. 13 3. 9 4 4.12(塊)（五）課堂小結學生交流本節課的體會和收獲。（六）布置作業1.m和n是相鄰的兩個不為零的自然數，它們的最大公因數是（ ）。2.所有非零自然數的公因數是（ ）。3.所有偶數（0除外）的最大公因數是（ ），所有奇數的最大公因數是（ ）。4.已知A=235，B=245，那么A和B的最大公因數是（ ）。5.數a是數b的倍數，那么a和b的最大公因數是（ ）。A. a B. b C. 1 D. ab6.下列敘述的幾組數中，（ ）的最大公因數是1。A.兩個不同的數 B.兩個不同的奇數 C.一個質數和一個合數 D.一個奇數和一個偶數7.在公因數只有1的一組下面畫“ ”5和11 13和26 12和21 32和338.求下列各組數的最大公因數。65和39 16和38 72和36 88和121答案：1. 1 2. 1 3. 2 1 4.10 5.B 6.D 7.略8略n 板書設計 公因數、最大公因數3 27 18 用公因數3去除3 9 6 用公因數3去除3 2 除到公因數只有1為止27和18的最大公因數是：33=9n 教學資料包教學資源1、按要求，使填出的兩個數成為互質數質數（）和合數（），質數（）和質數（），合數（）和合數（），奇數（）和奇數（），奇數（）和偶數（）2.求出下面各組數的最大公因數。48和108 144和36 28和983.把長120厘米，寬80厘米的鐵板裁成面積相等，最大的正方形而且沒有剩余，可以裁成多少塊？答案：1.（答案不唯一）2. 12 36 14 3. 6資料鏈接 最大公因數最大公約數，也稱最大公因數、最大公因子，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。a，b的最大公約數記為（a，b），同樣的，a，b，c的最大公約數記為（a，b，c），多個整數的最大公約數也有同樣的記號。求最大公約數有多種方法，常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。與最大公約數相對應的概念是最小公倍數，a，b的最小公倍數記為a，b。一、基本概念如果有一個自然數a能被自然數b整除，則稱a為b的倍數，b為a的約數。幾個自然數公有的約數，叫做這幾個自然數的公約數。公約數中最大的一個公約數，稱為這幾個自然數的最大公約數。倍與倍數是不同的兩個概念，倍是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數。倍數只是在數的整除的范圍內，相對于約數而言的一個數字的概念，表示的是能被某一個自然數整除的數，它必須是一個自然數。幾個自然數，公有的約數，叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。例如:12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記為(12、16)=4。12、15、18的最大公約數是3，記為(12、15、18)=3。二、求最大公因數的方法。（一）列舉法：就是把幾個數的所有因數都寫出來，通過對比、觀察、找出公因數最大公因數。求（12，18）。12的因數有：1、2、3、4、6、12.18的因數有：1、2、3、6、9、18.12和18的公因數有：1、2、3、6.（12，18）=6 （二）分解質因數法：就是將幾個數各自分解成質因數的形式，把公因數相乘得出最大公因數。求（12，18）。12=22318=233（12，18）=23=6（三）短除法的做法 短除法求最大約數，先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所有的商互質為止，然后后把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公約數。例如，求24、48、60的最大公約數。(24、48、60)=232=12無論是短除法，還是分解質因數法，在質因數較大時，都會覺得困難。這時就需要用新的方法。（四）直接觀察法兩個數成倍數關系的：如果較大的數是較小的數的倍數，那么較大的數就是這兩個數的最小公倍數。例：96是16的倍數，96是96和16的最小公倍數。兩個數是互質關系的：如果兩個數是互質數，那么這兩個數的最小公倍數就是這兩個數的積。例：7和13的最小公倍數是 713=91