18.2特殊的平行四邊形18.2.3正方形第一課時第二課時人教版數學八年級下冊正方形的性質第一課時返回除了矩形和菱形外，還有什么特殊的平行四邊形呢？怎樣研究這類圖形？想一想我們是怎樣研究矩形和菱形的.1.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形概念之間的聯系和區別.2.能用正方形的定義、性質進行推理與計算.素養目標平行四邊形情境一：觀察體會正方形的定義有一個直角有一個直角矩形有一個直角矩形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等平行四邊形有一個直角一組鄰邊相等矩形菱形一組鄰邊相等有一個直角正方形平行四邊形你能給正方形下一個定義嗎？問題1：圖中CD在平移時，這個圖形始終是怎樣的圖形？問題2：當CD移動到CD位置，此時ADAB，四邊形ABCD還是矩形嗎？AB正方形是特殊的矩形情景二：兩組互相垂直的平行線圍成矩形ABCD矩形正方形【思考】1.矩形一組鄰邊相等時變成怎樣的圖形呢正方形【思考】2.菱形有一個角是直角時變成怎樣的圖形呢小結：矩形正方形鄰邊相等發現：一組鄰邊相等的矩形叫正方形.一個角是直角正方形發現：一個角為直角的菱形叫正方形.如何來給正方形下定義？有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.請同學們拿出準備好的正方形紙片折一折觀察并思考.正方形是不是軸對稱圖形如果是那么對稱軸有幾條對稱性：.對稱軸：.軸對稱圖形4條ABCD正方形的性質總結：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱性平行四邊形中心對稱圖形（對角線的交點）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（四條）矩形菱形正方形有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角(1)(2)(3)(4)平行四邊形平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：矩形菱形正方形矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形也是特殊的矩形也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：性質：1.正方形的四個角都是直角四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.已知：如圖四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊都相等四個角都是直角.ABCD證明：四邊形ABCD是正方形.A=90AB=BC（正方形的定義）.又正方形是平行四邊形.正方形是矩形（矩形的定義）正方形是菱形(菱形的定義).A=B=C=D=90AB=BC=CD=AD.已知：如圖四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DOACBD.ABCDO證明：正方形ABCD是矩形AO=BO=CO=DO.正方形ABCD是菱形.ACBD.例1求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.已知:如圖四邊形ABCD是正方形對角線AC、BD相交于點O.求證:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.證明:四邊形ABCD是正方形AC=BDACBDAO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形并且ABOBCOCDODAO.利用正方形的性質求線段相等1.已知正方形ABCD，若E為對角線上一點，連接EA、EC.EA=EC嗎？說說你的理由.E12？解：EA=EC.理由如下：四邊形ABCD是正方形，AB=BC，1=2=45，又BE=BEABECBEAE=CE.例2如圖，在正方形ABCD中，BEC是等邊三角形，求證：EADEDA15.證明：BEC是等邊三角形，BE=CE=BCEBC=ECB=60，四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CDABC=DCB=90，AB=BE=CE=CDABE=DCE=30，ABE，DCE是等腰三角形，BAE=BEA=CDE=CED=75，EAD=EDA=90-75=15.利用正方形的性質求角度2.已知：如圖，在正方形ABCD中，F為CD延長線上一點，CEAF于E，交AD于M，求證：MFD45證明：CEAF，ADCAEM90又AME，12又CDAD，ADFMDCRtCDMRtADF(ASA)DM=DF.DMF=DFMADF=90，MFD=45.例3如圖四邊形ABCD和DEFG都是正方形，試說明AE=CG.解：四邊形ABCD是正方形AD=CD又四邊形DEFG也是正方形DE=DG又正方形的每個內角為90ADEEDCCDGEDC，ADECDGAEDCGD.AE=CG利用正方形的性質求線段相等3.已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且DE=BF求證：（1）AE=AF；（2）EAAF證明：（1）ABCD是正方形AD=AB，ADE=ABF=90在ABF與ADE中，AD=ABADE=ABF=90，DE=BFABFADE（SAS）AE=AF1=3（2）2+3=901+2=90，EAFA（2018吉林）如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，且BE=CF，求證：ABEBCF鞏固練習證明：四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，在ABE和BCF中，ABEBCFAB=BCABE=BCFBE=CF1.正方形具有而矩形不一定具有的性質是()A.四個角相等B.對角線互相垂直平分C.對角互補D.對角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質（）A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分C.對角線平分一組對角D.對角線相等BD3在正方形ABC中ADB=DAC=BOC=.4.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則EBC的度數是.459022.5第3題圖第4題圖455.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點O，AO2，求正方形的周長與面積四邊形ABCD是正方形，ACBD，OAOD2.在RtAOD中，由勾股定理，得正方形的周長為4AD，面積為AD28.解:如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PEBC于E，PFDC于F.試說明：AP=EF.解:連接PC，AC.又PEBC，PFDC四邊形ABCD是正方形FCE=90，AC垂直平分BD四邊形PECF是矩形PC=EF.AP=PC.AP=EF.四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊ADE，求BEC的大小解：當等邊ADE在正方形ABCD外部時，如圖，ABAE，BAE9060150.AEB15.BEC60151530；同理可得DEC15.當等邊ADE在正方形ABCD內部時，如圖，ABAE，BAE906030，AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.綜上所述，BEC的大小為30或150.1.四個角都是直角2.四條邊都相等3.對角線相等且互相垂直平分正方形的性質性質定義有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形的判定第二課時返回寧寧在商場看中了一塊正方形紗巾，但不知是否是正方形，只見售貨員阿姨拉起紗巾的一組對角，另一組對角能完全重合，看寧寧還在猶豫，又拉起紗巾的另一組對角，剩下的那組對角也能完全重合.阿姨認為這樣就能證明紗巾是正方形，把紗巾給了寧寧，你認為寧寧手上的紗巾一定是正方形嗎？2.能應用正方形定義、判定等知識，解決簡單的證明題和計算題.1.理解并掌握正方形的判定方法.素養目標做一做：把可以活動的菱形框架的一個角變為直角，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形【討論】滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角或對角線相等正方形的判定已知：如圖在菱形ABCD中ACDB是它的兩條對角線AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.求證：對角線相等的菱形是正方形.四邊形ABCD是菱形AB=BC=CD=ADACDB.AC=DBAO=BO=CO=DOAODAOBCODBOC是等腰直角三角形，DAB=ABC=BCD=ADC=90四邊形ABCD是正方形.證明：做一做：準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形【討論】滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等或對角線互相垂直矩形已知：如圖在矩形ABCD中ACDB是它的兩條對角線ACDB.求證：矩形ABCD是正方形.證明：四邊形ABCD是矩形AO=CO=BO=DO，ADC=90.ACDBAD=AB=BC=CD矩形ABCD是正方形.求證：對角線互相垂直的矩形是正方形.正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角正方形常見的判定方法先證是矩形再證是菱形或先證是菱形再證是矩形平行四邊形5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或對角線相等一組鄰邊相等或對角線互相垂直一組鄰邊相等或對角線互相垂直一個角是直角或對角線相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結例1已知：如圖，ABC中，C=90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F求證：四邊形CFDE是正方形C=90，DEBC于E，DFAC于FDEC=90，DFC=90，四邊形CFDE有三個直角，它是矩形又CD平分ACBDE=DF四邊形CFDE是正方形由矩形到正方形的識別證明：DEAC，DFBC，DEC=DFC=90.又C=90，四邊形ADFC是矩形.過點D作DGAB，垂足為G.AD是CAB的平分線DEAC，DGAB，同理得DG=DF，四邊形EDFC是正方形.1.如圖，在直角三角形中，C=90，A、B的平分線交于點D.DEAC，DFBC.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG證明：DE=DG.ED=DF，證明：四邊形ABCD為正方形OB=OCABO=BCO=45BOC=90=COH+BOH.EGFHCOH=BOEOE=OH.例2如圖，EGFH過正方形ABCD的對角線的交點O且EGFH.求證：四邊形EFGH是正方形.由菱形到正方形的識別OE=OF=OG=OH.EO+GO=FO+HO即EG=HFBOE+BOH=90CHOBEO同理可證：OE=OF=OG又EGFH四邊形EFGH為菱形.四邊形EFGH為正方形.2.在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN四邊形EFMN是正方形嗎為什么四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90.AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=DM.解：四邊形EFMN是正方形.理由如下：AE=BF=CM=DNA=B=C=DAN=BE=CF=DMAENBFECMFDNMEN=FE=MF=NM，ANE=BEF四邊形EFMN是菱形，NEF=180（AEN+BEF）=180（AEN+ANE）=18090=90.四邊形EFMN是正方形.在AEN、BFE、CMF、DNM中，（2019北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合），對于任意矩形ABCD，下面四個結論中，存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；存在無數個四邊形MNPQ是矩形；存在無數個四邊形MNPQ是菱形；至少存在一個四邊形MNPQ是正方形所有正確結論的序號是_______1.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）AAC=BD，ABCD，AB=CDBADBC，A=CCAO=BO=CO=DO，ACBDDAO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO2.下列判斷中正確的是（）A.四邊相等的四邊形是正方形B.四角相等的四邊形是正方形C.對角線垂直的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A當AB=BC時，四邊形ABCD是菱形B當ACBD時，四邊形ABCD是菱形C當ABC=90時，四邊形ABCD是矩形D當AC=BD時，四邊形ABCD是正方形D4.如圖，在四邊形ABCD中AB=BC對角線BD平分ABCP是BD上一點過點P作PMADPNCD垂足分別為M、N.(1)求證：ADB=CDB(2)若ADC=90求證：四邊形MPND是正方形.證明：（1）AB=BCBD平分ABC.1=2.ABDCBD(SAS).ADB=CDB.12（2）ADC=90又PMADPNCDPMD=PND=90.四邊形NPMD是矩形.ADB=CDBADB=CDB=45.DM=PMDN=PN.四邊形NPMD是正方形.如圖，ABC中，D是BC上任意一點，DEAC，DFAB（1）試說明四邊形AEDF的形狀，并說明理由（2）連接AD，當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，為什么？解：（1）DEAC，DFAB，四邊形AEDF為平行四邊形.（2）四邊形ADEF為菱形，AD平分BAC，則AD平分BAC時，四邊形AEDF為菱形.（3）在（2）的條件下，當ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形，不說明理由解：由四邊形AEDF為正方形BAC=90，ABC是以BC為斜邊的直角三角形即可如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AFAC，垂足為A，AF=AE（1）求證：BF=DE；（2）當點E運動到AC中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由（1）證明：正方形ABCD，AB=AD，BAD=90，AFAC，EAF=90，在ABF和ADE中，ABAD，BAFEAD，AFAEABFADE（SAS），BAF=EAD，BF=DE；（2）解：當點E運動到AC的中點時四邊形AFBE是正方形，理由：點E運動到AC的中點，AB=BC，BEAC，BE=AE=AC，AF=AE，又BEAC，FAE=BEC=90，BEAF，四邊形AFBE是平行四邊形，FAE=90，AF=AE，四邊形AFBE是正方形BE=AF=AE.BE=AF，5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或對角線相等一組鄰邊相等或對角線互相垂直一組鄰邊相等或對角線互相垂直一個角是直角或對角線相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習