18.2特殊的平行四邊形18.2.1矩形第一課時第二課時人教版數學八年級下冊矩形的性質第一課時返回在推動平行四邊形的變化過程中，你有沒有發現一種熟悉的、更特殊的圖形？我們都知道三角形具有穩定性，平行四邊形是否也具有穩定性？1.理解矩形的概念，明確矩形與平行四邊形的區別與聯系.2.探索并證明矩形的性質，會用矩形的性質解決簡單的問題.素養目標3.探索并掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個定理.一個角是直角兩組對邊分別平行矩形我們已經知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質外，還有它的特殊性質，同樣對于平行四邊形來說也有特殊情況即特殊的平行四邊形，這堂課我們就來研究一種特殊的平行四邊形矩形矩形的定義【思考】從圖形上看矩形是平行四邊形嗎若是它們之間有何關系呢有一個角是直角的平行四邊形是矩形.矩形的定義：矩形是特殊的平行四邊形具備平行四邊形所有的性質.對邊平行且相等對角相等，鄰角互補對角線互相平分矩形的一般性質：矩形的性質矩形是一個特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質外，還有哪些特殊性質呢？ABCD做一做：準備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.（1）請同學們以小組為單位測量身邊的矩形（如書本課桌鉛筆盒等）的四條邊長度、四個角度數和對角線的長度及夾角度數并記錄測量結果.ABCDO物體測量（實物）（形象圖）（2）根據測量的結果你有什么猜想？猜想1矩形的四個角都是直角.猜想2矩形的對角線相等.求證：矩形的四個角都是直角已知：如圖，四邊形ABCD是矩形求證：A=B=C=D=90證明：四邊形ABCD是矩形A=90又矩形ABCD是平行四邊形A=CB=DA+B=180A=B=C=D=90即矩形的四個角都是直角.已知：如圖四邊形ABCD是矩形求證：AC=BD證明：在矩形ABCD中ABC=DCB=90又AB=DC，BC=CBABCDCB(SAS)AC=BD即矩形的對角線相等.求證:矩形的對角線相等矩形特殊的性質:矩形的四個角都是直角矩形的兩條對角線相等從角上看：從對角線上看：矩形的兩條對角線互相平分矩形的兩組對邊分別相等矩形的兩組對邊分別平行矩形的四個角都是直角矩形的兩條對角線相等邊對角線角數學語言：四邊形ABCD是矩形ADBC，CDABAD=BC，CD=ABAC=BDAO=CO，OD=OB矩形的性質A=B=C=D=90例1如圖在矩形ABCD中兩條對角線ACBD相交于點OAOB=60AB=4求矩形對角線的長.解：四邊形ABCD是矩形.AC=BD，OA=OC=ACOB=OD=BDOA=OB.又AOB=60OA=AB=4，AC=BD=2OA=8.ABCDO利用矩形的性質求線段的長矩形的對角線相等且互相平分OAB是等邊三角形，1.如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的_________.例2將矩形紙片ABCD沿對角線BD對折，再折疊使AD與對角線BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的長.解:矩形紙片ABCD中，DAB=90，AD=BCAB=CD，又ADG沿DG折疊得到ADGADGADGx2+42=(8-x)2解得：x=3.設AG=x，則BG=AB-AG=8-x，在RtGAB中，由勾股定理得：AB2+AG2=BG2AD=ADAG=AG，AB=AB-AD=10-6=4，利用矩形的性質解答折疊問題2.如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C處，BC交AD于點E，AD8，AB4，求BED的面積解：四邊形ABCD是矩形，ADBC，A90，又由折疊知12，13，BEDE.設BEDEx，則AE8x.在RtABE中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2，解得x5，即DE5.SBEDDEAB5410.23.【思考】矩形ABCD是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸有幾條？矩形是中心對稱圖形嗎？對稱中心是什么？ABCDEFGH.O矩形的對稱性及相關性質矩形的性質：對稱性：.對稱軸：.軸對稱圖形2條矩形的性質：中心對稱：.對稱中心：.中心對稱圖形對角線的交點對邊平行且相等對角相等鄰角互補對角線互相平分中心對稱圖形對邊平行且相等四個角為直角對角線互相平分且相等中心對稱圖形軸對稱圖形O兩對全等的等腰三角形.你在矩形中還發現了哪些基本圖形？四個全等的直角三角形.如圖，一張矩形紙片，沿著對角線剪去一半，你能得到什么結論？RtABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關系？一般地，這個結論對所有直角三角形都成立嗎？直角三角形的性質猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.OD證明:延長BO至D使OD=BO連接AD、DC.AO=OCBO=OD，四邊形ABCD是平行四邊形.ABC=90平行四邊形ABCD是矩形，AC=BD，如圖，在RtABC中，ABC=90，BO是AC上的中線.求證:BO=AC.BO=BD=AC.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.例3如圖，在ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(1)若AB10，AC8，求四邊形AEDF的周長；解：AD是ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點，DEAEAB105，DFAFAC84，四邊形AEDF的周長AEDEDFAF554418；利用直角三角形的性質解答題目(2)求證：EF垂直平分AD.證明：DEAE，DFAF，E、F在線段AD的垂直平分線上，EF垂直平分AD.提示：當已知條件含有線段的中點、直角三角形的條件時，可聯想直角三角形斜邊上的中線的性質進行求解3.三位學生正在做投圈游戲，他們分別站在一個直角三角形的三個頂點處，目標物放在斜邊的中點處三個人的位置對每個人公平嗎？請說明理由答：公平.因為直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.1.（2018株洲）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC=10，P、Q分別為AO、AD的中點，則PQ的長度為_____鞏固練習2.52.（2019福建）如圖，點E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的一點，且DFBE求證：AFCE鞏固練習證明：四邊形ABCD是矩形，DB90，ADBC，ADFCBE（SAS），AFCEADBC，DB，DFBE，在ADF和CBE中，1.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列說法錯誤的是（）AABDCBAC=BDCACBDDOA=OBABCDOC2.若直角三角形的兩條直角邊分別5和12則斜邊上的中線長為()A.13B.6C.6.5D.不能確定C3.如圖，在ABC中ABC=90BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm則AC=_____cm(2)若C=30AB=5cm則AC=_____cmBD=_____cm.61054.如圖在矩形ABCD中E是BC上一點AE=ADDFAE垂足為F.求證：DF=DC.ABCDEF證明：連接DE.AD=AEAED=ADE.四邊形ABCD是矩形ADBCC=90.ADE=DECDEC=AED.又DFAEDFE=C=90.又DE=DEDFEDCEDF=DC.如圖，在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE：BAE3：1，求BAE和EAO的度數解：四邊形ABCD是矩形，DAB90，AOAC，BOBD，ACBD，BAEDAE90，AOBO.又DAE：BAE3：1，BAE22.5，DAE67.5.AEBD，OABABE67.5EAO67.522.545.ABE90BAE9022.567.5，如圖，已知BD，CE是ABC不同邊上的高，點G，F分別是BC，DE的中點，試說明GFDE.解：連接EG，DG.BD，CE是ABC的高，BDCBEC90.點G是BC的中點，EGBC，DGBC.EGDG.又點F是DE的中點，GFDE.矩形的相關概念及性質具有平行四邊形的一切性質四個內角都是直角，對角線相等既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形定義性質矩形的判定第二課時返回一位很有名望的木工師傅，招收了兩名徒弟，一天，師傅有事外出，兩徒弟就自已在家練習用兩塊四邊形的廢料各做了一扇矩形式的門，做完之后，兩人都說對方的門不是矩形，而自已的是矩形.你能想一個辦法確定誰做的門是矩形嗎？2.能應用矩形定義、判定等知識，解決簡單的證明題和計算題.1.理解并掌握矩形的判定方法.素養目標小明利用周末的時間，為自己做了一個相框問題1:請你利用直尺和三角板幫他檢驗一下，相框是矩形嗎？除了矩形的定義外，有沒有其他判定矩形的方法呢？矩形的判定定理1證明問題2:你還記得學習平行四邊形的判定時，我們是如何猜想并進行證明的嗎？同樣，小明通過研究矩形性質的逆命題，得到判定矩形的方法呢？小明的猜想:對角線相等的四邊形是矩形問題3上節課我們已經知道“矩形的對角線相等”，反過來，小明猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？【討論】你能證明這一猜想嗎？猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.已知：平行四邊形ABCD中，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:AB=DCABCDCB（SSS）ABCDABC+DCB=180ABC=DCB=90又四邊形ABCD是平行四邊形四邊形ABCD是矩形.ABC=DCB四邊形ABCD是平行四邊形又AC=DB，BC=CB對角線相等的平行四邊形是矩形.矩形的判定定理1：幾何語言：四邊形ABCD是平行四邊形且AC=BD四邊形ABCD是矩形.（對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）（或OA=OC=OB=OD）解：四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OC=AC，OB=OD=BD.又OA=OD，AC=BD，四邊形ABCD是矩形，BAD=90.又OAD=50，OAB=40.利用對角線判定矩形12解：四邊形ABCD是矩形.理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形AO=CODO=BO.又1=2，AO=BO，AC=BD，四邊形ABCD是矩形.問題1:前邊我們學習了矩形的四個角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？逆命題：四個角是直角的四邊形是矩形.成立.問題2:四邊形至少有幾個角是直角就是矩形呢？矩形的判定定理2做一做：李芳同學由“邊直角、邊直角、邊直角、邊”這樣四步，畫出了一個四邊形，她說這就是一個矩形，她的判斷對嗎？為什么？猜想：有三個角是直角的四邊形是矩形.你能證明上述結論嗎？已知：如圖在四邊形ABCD中A=B=C=90.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:A=B=C=90A+B=180B+C=180，ADBCABCD.四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形.A=B=C=90四邊形ABCD是矩形.幾何語言：矩形的判定定理2：歸納總結矩形的幾種判定方法:有一個角是直角的平行四邊形是矩形.對角線相等的平行四邊形是矩形.（對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）有三個角是直角的四邊形是矩形.方法1：方法2：方法3：例2如圖在ABC中點O是AC邊上的一個動點過點O作直線MNBC若MN交BCA的平分線于點E交BCA的外角平分線于點F.(1)求證:OE=OFEF證明：CF平分ACD，1=2又MNBC，1=32=3，同理可證：OC=OEOE=OFD(2)當O運動到何處時四邊形AECF為矩形利用角判斷四邊形是矩形OC=OF(1)答：當點O為AC的中點時，四邊形AECF是矩形.理由：由（1）知OE=OF又AO=CO四邊形AECF是平行四邊形又EC、FC分別平分ACB、ACD2+4=90即ECF=90四邊形AECF是矩形(2)EFD2.如圖，ABCD的四個內角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形證明：在ABCD中，ADBCDAB+ABC=180.AE與BG分別為DAB、ABC的平分線四邊形EFGH是矩形同理可證AED=EHG=90AFB=90，GFE=90.BAE+ABF=DAB+ABC=90.1.（2018上海）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（）AA=BBA=CCAC=BDDABBCB2.（2019懷化）已知：如圖，在ABCD中，AEBC，CFAD，E，F分別為垂足（1）求證：ABECDF；（2）求證：四邊形AECF是矩形（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BD，ABCD，ADBC，AEBAECCFDAFC90，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）；（2）證明：ADBC，EAFAECAFC90，ABCD，BD，AEBCFD，四邊形AECF是矩形EAFAEB90，AEBC，CFAD，1.如圖，在ABCD中，AC和BD相交于點O，則下面條件能判定ABCD是矩形的是（）AAC=BDBAC=BCCAD=BCDAB=ADA2.如圖直線EFMNPQ交EF、MN于A、C兩點AB、CB、CD、AD分別是EAC、MCA、ACN、CAF的平分線則四邊形ABCD是（）A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.不能確定C3.如圖矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.證明：四邊形ABCD是矩形，AC=BD，AO=BO=CO=DO，AE=BF=CG=DH，OE=OF=OG=OH，四邊形EFGH是平行四邊形，EO+OG=FO+OH，即EG=FH，四邊形EFGH是矩形.4.如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=5，BC=12，AC=13求證：四邊形ABCD是矩形證明：四邊形ABCD中，ABCD，BAD=90，ADC=90.又ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，滿足132=52+122，即ABC是直角三角形，且B=90，四邊形ABCD是矩形如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足為D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形證明：在ABC中，ABAC，ADBC，BADDAC，即DACBAC.又AN是ABC外角CAM的平分線，MAECAECAMDAEDACCAE(BACCAM)90.又ADBC，CEAN，ADCCEA90四邊形ADCE為矩形如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24cm，BC26cm，動點P從點A出發沿AD方向向點D以1cms的速度運動，動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3cms的速度運動點P、Q分別從點A和點C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點隨之停止運動(1)經過多長時間，四邊形PQCD是平行四邊形？解：設經過xs，四邊形PQCD為平行四邊形，即PDCQ，所以24x3x，解得x6.即經過6s，四邊形PQCD是平行四邊形；(2)經過多長時間，四邊形PQBA是矩形？解：設經過ys，四邊形PQBA為矩形，即APBQ，y263y，解得y6.5，即經過6.5s，四邊形PQBA是矩形有一個角是直角的平行四邊形是矩形.對角線相等的平行四邊形是矩形.有三個角是直角的四邊形是矩形.運用定理進行計算和證明矩形的判定定義判定定理課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習