19.2一次函數19.2.3一次函數與方程、不等式人教版數學八年級下冊今天數學王國搞了個家庭聚會，各個成員按照自己所在的集合就坐，這時來了“x+y=5”.二元一次方程一次函數x+y=51.認識一次函數與一元（二元）一次方程（組）、一元一次不等式之間的聯系2.會用函數觀點解釋方程和不等式及其解（解集）的意義.素養目標3.經歷用函數圖象表示方程、不等式解的過程，進一步體會“以形表示數，以數解釋形”的數形結合思想.我們先來看下面兩個問題：（1）解方程2x+20=0.（2）當自變量x為何值時函數y=2x+20的值為0？問題：1.對于2x+20=0和y=2x+20，從形式上看，有什么相同和不同？2.從問題本質上看，（1）和（2）有什么關系？一次函數與一元一次方程作出函數y=2x+20的圖象.【思考】函數圖象哪一個點的坐標表示函數值為0與x軸的交點(-100)即當x=-10時，函數y=2x+20的值為0，這說明方程2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函數與x軸的交點的橫坐標.20-10問題(1)解方程2x+20=0，得x=-10.所對應的（）為何值？實質上這可以通過解方程2x+20=0得出x=-10.因此，這兩個問題實際上是同一個問題.問題(2)就是要考慮當函數y=2x+20的值為（）時，自變量x0從圖象上看：【思考】由上面兩個問題的關系，能進一步得到解方程ax+b=0（a，b為常數）與求自變量x為何值時，一次函數y=ax+b的值為0有什么關系？由上面問題可以得到一元一次方程的求解與解相應的一次函數問題相一致.由于任何一個一元一次方程都可轉化ax+b=0(ab為常數a0)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數值y為0時，求相應的自變量x的值.從圖象上看這相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸交點的橫坐標的值.求ax+b=0(ab是常數，a0)的解x為何值y=ax+b的值為0求ax+b=0(ab是常數，a0)的解確定直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標從數的角度看從形的角度看一次函數與一元一次方程的關系1.以下的一元一次方程與一次函數問題是同一問題當x為何值時y=8x+3的值為0解方程-7x+2=0當x為何值時y=-5x-5的值為0例1一個物體現在的速度是5米秒，其速度每秒增加2米秒，再過幾秒它的速度為17米秒？(從方程、函數解析式及圖象三個不同方面進行解答)解法1：設再過x秒它的速度為17米秒，由題意得2x+5=17解得x=6答：再過6秒它的速度為17米秒.利用一次函數、方程及圖象解答問題解法2：速度y（單位：米秒）是時間x（單位：秒）的函數y=2x+5由2x+5=17得2x12=0由右圖看出直線y=2x12與x軸的交點為（6，0），得x=6.解法3：速度y（單位：米秒）是時間x（單位：秒）的函數y=2x+5由右圖可以看出當y=17時，x=6.2.當自變量x的取值滿足什么條件時，函數y=2x+8的值滿足下列條件？(1)y=0；(2)y=-8.3.已知方程ax+b=0的解是-2，下列圖象一定不是直線y=ax+b的是()-2-2-2-2-2ABCDBx=-4；x=-8.解:3個不等式相同的特點是：不等號左邊都是；不同點是：不等號及不等號右邊分別是，.20-1一次函數與一元一次不等式【討論】你能從函數的角度對以上3個不等式進行解釋嗎？小于-1大于2小于0大于2小于0小于-1歸納總結因為任何一個以x為未知數的一元一次不等式都可以變形為ax+b0或ax+b0（a0）的形式，所以解一元一次不等式相當于在某個一次函數y=ax+b的值或時求自變量x的.取值范圍大于0小于0求kx+b0(或0）(k0)的解集y=kx+b的值大于(或小于)0時，x的取值范圍從“函數值”看求kx+b0(或0）(k0)的解集確定直線y=kx+b在x軸上方(或下方)的圖象所對應的x取值范圍從“函數圖象”看一次函數與一元一次不等式的關系4.已知函數y=x-3當x時，y0當x時，y0.335.已知一次函數y=kx+b的圖象如圖所示，則不等式kx+b0的解集是（）Ax-2Bx-2Cx-1Dx-1By=kx+b例2畫出函數y=-3x+6的圖象，結合圖象求：（1）不等式-3x+60和-3x+60的解集（2）當x取何值時，y3解：作出函數y=-3x+6的圖象，如圖所示，圖象與x軸交于點B(2，0).xOB(20)A(06)y利用一次函數的圖象解一元一次不等式解：（1）由圖象可知，不等式-3x+60的解集是圖象位于x軸上方的x的取值范圍即x2；xOB(20)A(06)(13)y（2）由圖象可知，當x1時，y3.（1）不等式-3x+60和-3x+60的解集（2）當x取何值時，y36.如圖，已知直線y=kx+b與x軸交于點(-40)，則當y0時，x的取值范圍是（）A.x-4B.x0C.x-4D.x0C1號探測氣球從海拔5m處出發，以1mmin的速度上升與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發，以0.5mmin的速度上升兩個氣球都上升了1h(1)請用解析式分別表示兩個氣球所在位置的海拔y(m)與氣球上升時間x(min)的函數關系氣球1海拔高度：y=x+5；氣球2海拔高度：y=0.5x+15解:一次函數與二元一次方程組【討論】一次函數與二元一次方程有什么關系？一次函數二元一次方程從式子（數）角度看：由函數圖象的定義可知：直線y=0.5x+15上的每個點的坐標(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直線y=0.5x+15上的每個點的坐標都是二元一次方程y=0.5x+15的解.【討論】從形的角度看，一次函數與二元一次方程有什么關系？從數的角度看：就是求自變量為何值時，兩個一次函數y=x+5，y=0.5x+15的函數值相等，并求出函數值(2)什么時刻，1號氣球的高度趕上2號氣球的高度？這時的高度是多少？請從數和形兩方面分別加以研究.氣球1海拔高度：y=x+5氣球2海拔高度：y=0.5x+15二元一次方程組的解就是相應的兩個一次函數圖象的交點坐標A（20，25）302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy從形的角度看，二元一次方程組與一次函數有什么關系？歸納總結一般地，任何一個二元一次方程都可以轉化為一次函數y=kx+b(k、b為常數，且k0)的形式，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數，也對應一條直線方程組的解對應兩條直線交點的坐標.觀察函數圖象，直接回答下列問題：（1）在什么時候，1號氣球比2號氣球高？（2）在什么時候，2號氣球比1號氣球高？氣球1海拔高度：y=x+5氣球2海拔高度：y=0.5x+15（1）20min后，1號氣球比2號氣球高.（2）020min時，2號氣球比1號氣球高.例3如圖，求直線l1與l2的交點坐標.分析：由函數圖象可以求直線l1與l2的解析式，進而通過方程組求出交點坐標.利用一次函數的圖象解二元一次方程組解：因為直線l1過點(-1，0)，(0，2)，用待定系數法可求得直線l1的解析式為y=2x+2.同理可求得直線l2的解析式為y=-x+3.即直線l1與l2的交點坐標為7.如圖，一次函數y=ax+b與y=cx+d的圖象交于點P，則方程組的解是多少？解：此方程組的解是123-1-2-3-1-3-4-52O-214-6xyPy=ax+by=cx+d1.（2018呼和浩特）若以二元一次方程x+2yb=0的解為坐標的點（x，y）都在直線上，則常數b=（）AB2C1D1鞏固練習B2.（2019遵義）如圖所示，直線l1：與直線l2：交于點P（2，3），不等式的解集是（）Ax2Bx2Cx2Dx2A1.直線與x軸的交點是（）A（0，-3）B（-3，0）C（0，3）D（0，-3）2.方程的解是，則函數在自變量x等于時的函數值是8.Bx=223.直線在坐標系中的位置如圖，則方程的解是x=___.-204.根據圖象，你能直接說出一元一次方程的解嗎？解：由圖象可知x+3=0的解為x=3從“形”上看直線y=x+3的圖象與x軸交點坐標為（-30），這說明方程x30的解是x=-3.05.當自變量取何值時，函數與的值相等？這個函數值是多少？解：由已知可得：2.5x+1=5x+17解得：x=-6.4y=5(-6.4)+17y=-156.用函數圖象來解決5x+63x+10.解：化簡，得2x-40.畫出直線y=2x-4的圖象.可以看出，當x2時，這條直線上的點在x軸的上方，即這時y=2x-40.所以不等式的解集是x2.一次函數y1=4x+5與y2=3x+10的圖象如圖所示則4x+53x+10的解集是（）A.x5C.x-5D.x251B直線與x軸的交點的橫坐標的值是方程的解，求a的值.解：由題意可得：當直線y=3x+6與x軸相交時，y=0則3x+6=0解得：x=-2當x=-2時，2(-2)+a=0解得：a=4一次函數與方程、不等式解一元一次方程對應一次函數的值為0時，求相應的自變量的值，即一次函數與x軸交點的橫坐標.解一元一次不等式對應一次函數的函數值大（?。┯?時，求自變量的取值范圍，即在x軸上方(或下方)的圖象所對應的x取值范圍.解二元一次方程組求對應兩條直線交點的坐標.課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習